?t???x??v/c2??x??1?(?x/?x?)2/c?2?1?(1/2)2/(3?108)?5.77?10?9s
4.7论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同的地点，在有相对运动的其他惯性系中，这两个事件一定不同时发生。
证明：令在某个惯性系中两事件满足 ?t?0， ?x?0
则在有相对运动的另一个惯性系中(相对运动速度为v),两事件的时间间隔是
?t??u(?t??x?v/c)??u?x?v/c??由于 ?x?0， v?0且v??c
所以 ?t??0，即两事件一定不同时发生。
22?x?v/c21?(v/c)2
4.8 试证明：(1)如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两
个事件的时间间隔，只有在此惯性系中最短；(2)如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的空间间隔，只有在此惯性系中最短。
证明(1) 设两事件在某惯性系中于同一地点发生，即?x?0，时间间隔为?t，则在另一个相对运动速度为v的惯性系中，两事件的时间间隔为
?t??u(?t??x?v/c2)?u?t??t1?(v/c)2??t
所以，在原惯性系中时间间隔最短。
证明(2) 设两事件在某惯性系中于同时发生，即?t?0，时间间隔为?x，则在另一个相对运动速度为v的惯性系中，两事件的时间间隔为
?x??u(?x?v?t)?u?x?所以，在原惯性系中空间间隔最短。
?x1?(v/c)2??x
4.9 若电子A和电子B均以0.85c[c为真空中的光速]的速度相对于实验室向右和向左飞
行，问两者的相对速度是多少？ [ 答案：0.99c]
4.10 一光源在K?系的原点O?发出一光线。光线在O?X?Y?平面内且与x?轴的夹角为??。
设K?系相对于K系沿x轴正向以速率u运动。试求在K系中的观测者观测到此光线与x轴的夹角?。
s??Vx??cco?解：光线的速度在K?系中两个速度坐标上的投影分别为 ?
??V?csin??y由速度变换关系
u2Vy?1?2?u?Vxc
Vx? ， Vy?V??uu1?2Vx?1?x2cc26
则在K系中速度的两个投影分别为
ccos???ucsin??1?u2/c2Vx?， Vy?
uccos??uccos??1?1?2cc2所以，在K系中的观测者观测到此光线与x轴的夹角??arctan
4.11 如果一观测者测出电子的质量为2m0[m0为电子的静止质量]，问电子的速度是多大？ 解：由相对论质量关系 m?VyVx
m01?(V/c)2
而且 m?2m0 得到 V?
4.12 如果将电子由静止加速到0.1c [c为真空中的光速] 的速度，需要对它作多少功？速度从0.9c加速到0.99c，又要作多少功？
解(1) 由相对论动能定理：
3c?0.866c 2Aab??ba???11222F?dr?mbc?mac?m0c??22?1?(V/c)1?(V/c)ba??? ??因为 Va?0， Vb?0.1c 代入得到 Aab?m0c?2???1??0.005m0c2?4.095?10?16J?2.56Kev 2?1?0.1?1(2) 将 Va?0.9c， Vb?0.99c代入原式
?11Aab?m0c2??21?0.92?1?0.99
?2?133??4.7946m0c?3.93?10J?2.46?10Kev ?4.13 在什么速度下粒子的动量是其非相对论动量的两倍？在什么速度下粒子的动能等于它
的静止能量？
解(1) 由相对论动量公式 p?mV?m0V1?(V/c)2
而且 p?2m0V
27
联立两式 m?2m0 ? V?3c?2.6?108ms?1 222(2) 由相对论动能公式 EK?mc?m0c 2而且 EK?2m0c
联立两式 m?2m0 ? V?
4.14 静止质量为9.1?10?313c?2.6?108ms?1 2kg的电子具有5倍于它的静能的总能量，试求它的动量和速率。
[提示：电子的静能为E0?0.511MeV] 解：由总能量公式 E?mc 而且 E?5E0 ? m?25E0 (1) 2c其中 m?m01?(v/c)2 (2)
联立(1)、(2)两式
24m0c(9.1?10?31)2?(3?108)4?c1??0.98c V?c1?26?19225E025?(0.511?10?1.6?10)将(1)式代入动量公式
p?mV?
5E05?0.98?0.51Mev2.5Mev?0.98c??
ccc24.15 一个质量为M的静止粒子，衰变为两个静止质量为m1和m2的粒子，求这两个粒子的
动能。[提示：利用能量守恒和动量守恒关系] 解：令两粒子的动能分别为EK1与EK2
由相对论能量守恒得到 Mc?EK1?EK2?m1c?m2c (1)
2222422由相对论动量和能量的关系 E?pc?m0c?(EK?m0c)
2222EK得到 p?2?2m0EK
c2 28
由相对论动量守恒p?p联立(1)、(2)两式解得
2122得到
2EK1c2?2m1EK1?2EK2c2?2m2EK2 (2)
c2c222?M?m1??m2，Ek2??M?m2?2?m12 Ek1?2M2M????
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习题五参考解答
5.1 简答下列问题：
（1） 什么是简谐振动？分别从运动学和动力学两方面作出解释。一个质点在一个使它返
回平衡位置的力的作用下，它是否一定作简谐振动？
（2） 在什么情况下，简谐振动的速度和加速度是同号的？在什么情况下是异号的？加速
度为正值时，振动质点一定是加快地运动吗？反之，加速度为负值时，肯定是减慢地运动吗？
（3） 同一弹簧振子，如果它在水平位置是作简谐振动，那么它在竖直悬挂情况下是否仍
作简谐振动？把它装在光滑斜面上，它是否仍将作简谐振动？ （4） 如果某简谐振动振动的运动学方程是y?Acos(n?t??)，那么这一振动的周期是多少？
（5） 在地球上，我们认为单摆(在小角幅下)的运动是简谐振动，如果把它拿到月球上，
那么，振动周期将怎样改变？
（6） 什么是位相？一个单摆由最左位置开始摆向右方，在最左端位相是多少？经过中点、
到达右端、再回中点、返回左端等各处的位相是多少？
（7） 初位相是个什么物理量？初位相由什么确定？如何求初周相？试分别举例说明：
(a)已知初始状态，如何确定初位相；(b)已知初位相，如何确定初始状态。
5.2 一质点作简谐振动x?6cos(100?t?0.7?)cm。某时刻它在x?32cm处，且向X轴负向运动，它要重新回到该位置至少需要经历的时间为
(A)
答案：(B)
1313s; (B) s; (C) s; (D) s。 1002005050x?6cos(100?t?0.7?)?Acos(?t??)
Y
? A ??t?2???/2 ?/4 O X 如图：
30