x1?32?Acos??/4??Acos(?t1??),v1?0
x2?32?Acos?3?/2??/4??Acos(?t2??),v2?0
位相差
??t?3?/2
?t?3?/2??3?/[2?100?]?3/200s
5.3 以频率?作简谐振动的系统，其动能和势能随时间变化的频率为
(A) ?/2； (B) ?； (C) 2?； (D) 4?。
答案：(C)
Ep?cos2(?t??)?12?1?cos(2?t?2?)? Ek?sin2(?t??)?12?1?cos(2?t?2?)?
5.4 劲度系数为100N/m的轻弹簧和质量为10g的小球组成的弹簧振子，第一次将小球拉离平衡位置4cm，由静止释放任其运动；第二次将小球拉离平衡位置2cm并给以2cm/s的初速度任其振动。这两次振动能量之比为
(A) 1:1; (B) 4:1; (C) 2:1; (D) 22:3。
答案：(C)
22211 E1?12kx1， E2?2kx2?2mv2
221?x2?m?v2?111E212kx2?2mv2?? ???????? 21E1kx4421?x1?k?x1?2225.5 一谐振系统周期为0.6s，振子质量为200g，振子经平衡位置时速度为12cm/s，则再经
0.2s后振子动能为
(A) 1.8?10J； (B) 0; (C) 1.44?10J; (D) 3.0?10J。 答案：(D)
?4?3?5x0?Acos??0，cos??0?????2，
v0??A?sin??0.12?0? sin??0????22221 Ek?12mv?2m?Asin(?t??)
?2，A??v0
22221?12mv0sin(0.2???/2)?2mv0sin(0.2?2?/T??/2)
?0.1??12?10?22?sin(2?/3??/2)?0.1??12?102?22?sin2(?/6)
?3.0?10?5J
31
5.6 一弹簧振子系统竖直挂在电梯内，当电梯静止时，振子谐振频率为v0。现使电梯以加速度a向上作匀加速运动，则其谐振频率将
(A) 不变； (B) 变大； (C) 变小； (D) 变大变小都有可能
答案：(A)
a
fx??kx?m(g?a)
d2x kx m2?fx??kx?m(g?a)
dtd2xm?? m(g?a) m2??k?x?(g?a)?
dtk??d2x?m?? m2??kx?，x???x?(g?a)?
kdt?? X
5.7 将一物体放在一个沿水平方向作周期为1s的简谐振动的平板上，物体与平板间的最大静摩擦系数为0.4。要使物体在平板上不致滑动，平板振动的振幅最大只能为
(A) 要由物体质量决定； (B) 2/g; (C) g/(10?); (D) 0.4cm 答案：(C) f
a 2 最大静摩擦力为fm?0.4mg，最大加速度为am?A?
2 由fm?mam得
0.4mg?mA?2?A?0.4g/?2?0.4gT2/(2?)2?g/(10?2)
5.8 两分振动方程分别为x1?3cos(50?t?0.25?)cm和
x2?4cos(50?t?0.75?)cm，则它们合振动的表达式为
(A) x?cos(50?t?0.25?)cm; (B) x?5cos50?tcm; (C) x?5cos?50?t????1??tg?1?cm; 27?(D) x?7cm。 答案：(C)
32
?2?3?5.9 质量为m?10?10kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x?0.5?10cos?8?t?13?的
规律作简谐振动，式中 t以秒为单位，x以米为单位。试求：
(1) 振动的圆频率、周期、振幅、初位相以及速度和加速度的最大值； (2) 求t?1s,2s,10s时刻的位相。
(3) 利用Mathematica绘出位移、速度、加速度与时间的关系曲线。
解(1)：??8?s , T??12???0.25s , A?0.5?10?2m , ?0?13?
?V??4??10?2sin?8?t?1?4??10?2?0.126ms?1 3? ? Vmax?a??32?2?10?2cos?8?t?1?32?2?10?2?3.16ms?2 3? ? amax(2) ? ??8?t??3
25?
33?49?2?16????
33?241?10?80????
335.10 劲度系数为k1和k2的两根弹簧，与质量为m的物体按题图5.10所示的两种方式连接
??1?8????试证明它们的振动均为谐振动。
k1 m k2 k1 k2 m
题图5.10
证明：(1)当物体向右移动x时，左端弹簧伸长x，而右端弹簧缩短x，它们对物体作用力方向相同，均与物体位移方向相反，所以
f??k1x?k2x??(k1?k2)x
因此物体将作简谐振动。
(2) 设两弹簧分别伸长x1与x2，则弹簧对物体的作用力 f??k2x2 对两弹簧的连接点有: k1x1?k2x2 且 x?x1?x2 解此两式： x2?k1x
k1?k2 33
代入f中： f??因此物体将作简谐振动。
k1k2x
k1?k25.11 如题图5.11所示，质量为m的物体放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角?，弹簧的
劲度系数为k，滑轮的转动惯量为I，半径为R。先把物体托住，使弹簧维持原长，然后由静止释放，试证明物体作简谐振动。
m k ? 题图5.11
证明：取未用手托系统静止时m的位置为平衡位置，令此点位坐标原点，弹簧伸长x0，则有： mgsin??kx0 (1) 当物体沿斜面向下位移为x时，则有：
mgsin??T1?ma (2) T1R?T2R?I? (3) T2?k(x0?x) (4)
a?R? (5)
将(2)与(4)代入(3),并利用(5),可得
I)a?mgRsin??kx0R?kxR RkR利用(1)式，得到 a??x
ImR?R(mR?所以，物体作的是简谐振动。
5.12 一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表
出。如果t?0时质点的状态分别是： (1) x0??A；
(1) 过平衡位置向x轴正向运动； (3) 过x?12A处向x轴负向运动；
34
(4) 过x?12A处向x轴正向运动。
试用旋转矢量图方法确定相应的初位相，并写出振动方程。 Y (3) A ??/3 (1) O X ??/4
(4) (2)
解：令振动方程为：x?Acos??2??t??? ?T??2??t??? ?T?(1) ?t?0,x0??A，?cos???1 ? ???，?x?Acos?(2) ?t?0,x0?0，?cos??0 ?
????2
?V0?0 ? sin??0 ? ???(3) ?t?0,x0??2，?x?Acos????2?t??
2??TA1?，?cos?? ? ??? 223?V0?0 ? sin??0 ? ???3，?x?Acos????2?t??
3??T(4) ?t?0,x0?A2，?cos??2? ? ??? 24?V0?0 ? sin??0 ? ???
?4，?x?Acos????2?t??
4??T5.13 一质量为10?10kg的物体作谐振动，振幅为24cm，周期为4.0s，当t?0时，位移
?3 35