为24cm。求：
(1) t?0.5s时，物体所在的位置； (2) t?0.5s时，物体所受力的大小和方向；
(3) 由起始位置运动到x?12cm处所需的最短时间； (4) 在x?12cm处物体的速度、动能、系统的势能和总能量。 解：设物体的振动方程为 x?Acos(?t??) 由于 A?24cm， T?4s ?
??2??? T2???t? ?2?由于 t?0,x0?24cm ? cos??1 ? ??0，因此 x?24cos?(1) 将 t?0.5s代入，得到 x?24cos2?4?122?16.97cm?0.17m
?3(2) f??m?x 将t?0.5s代入，得到f??10?10负号表示方向与x轴方向相反。 (3) 将x?12m代入x?24cos???24?0.17??4.2?10?3N
2??????1t?中，得到 cos?t?? ?t?s
3?2??2?2(4) V??12??10?232?????0.326ms?1 sin?t? ，将t?s代入得V??12??10?2?23?2?EK?11mV2??10?10?3?36?3??2?10?4?5.33?10?4J 22k?25?22?3??10kgs?2 ? k?m??10?10?m42由 ??1215?2?10?3?0.122?1.78?10?4J 因此 EP?kx??222E?EK?EP?5.33?10?4?1.78?10?4?7.11?10?4J
5.14 有一轻弹簧，下端悬挂一质量为0.1kg的砝码，砝码静止时，弹簧伸长0.05m。如果我们再把砝码竖直拉下0.02m，求放手后砝码的振动频率和振幅。
解：取砝码静止时的位置为平衡位置，并令为坐标原点，向下为正方向，则有
mg?kx0 ? k?mg/x0
当下拉x位置时，砝码所受回复力为
36
f??k(x0?x)?mg??kx
因此砝码作简谐振动 a?fk??x ? ??mmk mv??1?2?2?k1?m2?mg/x01?m2?g?2.2Hz x0将初始条件 x0?0.02m,V0?0 代入振幅公式：
20A?x?
V02?2?0.02m
5.15 一轻弹簧的劲度系数为k，其下端悬有一质量为M的盘子。现有一质量为m的物体从
离盘底为h高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动。若以物体落到盘底时为计时零点、以物体落到盘子后的平衡位置为坐标原点、以向下为x轴正向，求盘子的振动方程。
解：令m与M系统处于平衡位置处为坐标原点，向下为正方向
m未下落时，满足: Mg?kx1
m与M平衡位置处: (m?M)g?k(x1?x2)
联立解得 x2?mg k由动量守恒： mV?(m?M)V? 且 V?2gh
得到 V??m2gh
m?Mm?M2?? ? ??kTk
m?M而且它们共同振动的周期 T?2?将初始条件 t?0，x0??x2，V0?V??m2gh代入振幅及位相公式：
m?MA?x?20V02?2?m2g22m2gh/(m?M)2mg2kh??1? 2k/(m?M)k(M?m)gktan???V02kh ??x0(m?M)g 37
由于 x0?0， V0?0 ? 因此
??(?,3?) 2??arctg2kh??
(M?m)g将已求出的A、?和?代入x?Acos(?t??)中，即可得振动方程为
x???mg2khk2kh? 1?cos?t?arctg????k(M?m)g(M?m)g?M?m?5.16 一个水平面上的弹簧振子(劲度系数为k，所系物体质量为M)，当它作振幅为A、周
期为T、能量为E的无阻尼振动时，有一质量为m的粘土从高度h处自由下落。当M达到最大位移处时粘土正好落在M上，并粘在一起，这时系统的振动周期、振幅和振动能量有何变化？如果粘土是在M通过平衡位置时落在M上，这些量又如何变化？
解:原周期为T0?2?mm?M?T ，两种情况下周期都变为T1?T2?2?kk(1) 当M达到最大位移处时粘土正好落在M上时，此时物体水平速度为零 动量守恒得到： MV0?(m?M)V1 且 V0?0 ? V1?0 将初始条件 x0?A， V0?V1?0代入振幅公式
?V?2A1?x0??0??A ? E1?E
??1?(2) 当粘土在M通过平衡位置时落在M上时，由水平方向动量守恒得到
MV0?(m?M)V2 且 V0??0A ? V2?2MA?0
m?M将初始条件 x0?0，V0?V2?2MA?0 ，代入振幅公式：
m?MV0?V0?MA?0MAT2M2?A2?x0????????A?A ????2m?M?2m?MT0m?M?2?M2E?E 由E?A ? E2?m?M
5.17 一单摆的摆长l?1.0m，摆球质量m?0.01kg，当摆球处在平衡位置时，若给小球一个水平向右的冲量I?50?10?2kg?m?s?1，取打击时刻为计时起点(t?0)，求振动的初位
相和角振幅[设摆角向右为正]。
解：由单摆的动力学方程 ???mcos(?t??)，将初始条件 t?0，??0代入
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得到 cos??0? ????2。由于 V0?0? sin??0?????2
?d???m?cos?t ????mcos(?t?)??msin?t ?
2dt其中 ??gd?I0.5?9.8?3.13s?1， 初始时刻 ???50s?1 ldtml0.01?m?d?/dt????50?15.97rad 3.135.18 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为
x1?0.04cos?2t???5????[式中x以米计，t以秒计] ?，x2?0.03cos?2t?66???试分别用旋转矢量法和代数法求合振动的振幅和初位相，并写出合振动的方程。 解：由题意 A1?0.04，A2?0.03， ?1??6， ?2??5? 6由于 ????2??1??? ? A?A1?A2?0.01m
tan??A1sin?1?A2sin?2?3 ? ?? ?6A1cos?1?A2cos?23??因此，合振动方程为 x?0.01cos?2t???? 6?
5.19 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为0.20m，位相与第一振动的
位相差为16?，已知第一振动的振幅为0.173m，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差。
解：由分振动与合振动的三角形关系： A2?A1?A?2A1Acos代入数据 A2?0.01m ? A2?0.1m 由于 A?A1?A2?2A1A2cos??
2A2?A12?A2?得到 cos????0 ? ???
22A1A22222222?6
5.20 试借助旋转矢量图求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：
39
????????x?5cos3t?cmx?5cos3t?????cm?1?133??????1?? ?2?? ?7??4???x?5cos??x?5cos?3t?cm3t?????cm22??33??????解(1)：由题意：A1?5，A2?5， ?1??3， ?2?7? 3由于 ????2??1?2? ? A?A1?A2?10cm?0.1m (2) 由题意：A1?5，A2?5， ?1??3， ?2?4? 3由于 ????2??1?? ? A?A1?A2?0 5.21 质量为0.1kg的质点同时参与两个互相垂直的简谐振动： x?0.06cos?????????t??，y?0.03cos?t??，式中x以米计，t以秒计。
3?6??3?3(1) 求质点的运动轨道方程；(2) 求质点在任一位置所受的作用力；(3) 利用Mathematica，
绘出合成振动的轨迹。 解：(1) 由于 x?0.06cos?????????t???0.06sin?t??
3?6??3?3x2y2??1 结合y的表示式，得到轨道方程为：
0.0620.032?????2(2) F?Fxi?Fyj??m?(xi?yj) ??0.1??2????????????0.06cost?i?0.03cost?????j? ?9?3?6???3?3????????????0.0066cos?t??i?0.0033cos?t??j
3?6??3?3
5.22一质点同时参与两个互相垂直的简谐振动：x?Acos2?t，y?Acos3?t，求质点的运动轨道方程。
cos6?t?1A2?(cos6?t?1) 解：由于 y?Acos3?t ? y?Acos3?t?A222222cos6?t?cos(4?t?2?t)?cos4?tcos2?t?sin4?tsin2?t ?(2cos22?t?1)cos2?t?2sin22?tcos2?t
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