2005年考研数学二试题及答案 下载本文

超级狩猎者

2005年数学二试题分析、详解和评注

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)

(1)设y?(1?sinx)x,则dyx?? = .

(2) 曲线y?1(1?x)x232的斜渐近线方程为.

(3)

?(2?x0xdx2)1?x?

1的解为 9(4) 微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??(5)当x?0时,?(x)?kx2与?(x)?1?xarcsinx?cosx是等价无穷小,则k= .

(6)设?1,?2,?3均为3维列向量,记矩阵

A?(?1,?2,?3),B?(?1??2??3,?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3), 如果A?1,那么B? .

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)设函数f(x)?limn1?xn??3n,则f(x)在(??,??)内

(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.

(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]

\M?N\表示(8)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,“M的充分必要条件是N”,

则必有

(A) F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. (B) F(x)是奇函数?f(x)是偶函数.

(C) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数.

(D) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数. [ ]

?x?t2?2t,(9)设函数y=y(x)由参数方程?确定,则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x

?y?ln(1?t)轴交点的横坐标是

11ln2?3. (B) ?ln2?3. 88(C) ?8ln2?3. (D) 8ln2?3. [ ]

(A)

超级狩猎者

22(10)设区域D?{(x,y)x?y?4,x?0,y?0},f(x)为D上的正值连续函数,a,b

为常数,则

??Daf(x)?bf(y)f(x)?f(y)d??

(A) ab?. (B)

aba?b?. (C) (a?b)?. (D) ? . [ ] 22(11)设函数u(x,y)??(x?y)??(x?y)??x?yx?y?(t)dt, 其中函数?具有二阶导数,

? 具有一阶导数,则必有

?2u?2u?2u?2u (A) ??2. (B) 2?2. 2?x?y?x?y?2u?2u?2u?2u(C) ?2. [ ] ?2. (D)

?x?y?x?x?y?y

(12)设函数f(x)?1exx?1,则 ?1(A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. (B) x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.

(C) x=0是f(x)的第一类间断点,x=1是f(x)的第二类间断点. x=0是f(x)的第二类间断点,x=1是f(x)的第一类间断点. [ ]

(13)设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为?1,?2,则?1,

A(?1??2)线性无关的充分必要条件是

(A)

?1?0. (B) ?2?0. (C) ?1?0. (D) ?2?0. [ ]

**(14)设A为n(n?2)阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B, A,B分

别为A,B的伴随矩阵,则

(A) 交换A的第1列与第2列得B. (B) 交换A的第1行与第2行得B.

(C) 交换A的第1列与第2列得?B. (D) 交换A的第1行与第2行得?B. [ ] 三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15)(本题满分11分)

********超级狩猎者

?设函数f(x)连续,且f(0)?0,求极限limx?0x0(x?t)f(t)dtx0x?f(x?t)dt.

(16)(本题满分11分) 如图,C1和C2分别是y?1(1?ex)和y?ex的图象,过点(0,1)的曲线C3是一单调增2函数的图象. 过C2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly. 记C1,C2与lx所围图形的面积为S1(x);C2,C3与ly所围图形的面积为S2(y).如果总有S1(x)?S2(y),求曲线C3的方程x??(y).

(17)(本题满分11分)

如图,曲线C的方程为y=f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分

?30(x2?x)f???(x)dx.

(18)(本题满分12分)

用变量代换x?cost(0?t??)化简微分方程(1?x2)y???xy??y?0,并求其满足

yx?0?1,y?x?0?2的特解.

(19)(本题满分12分)

已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1. 证明: (I)存在??(0,1), 使得f(?)?1??;

(II)存在两个不同的点?,??(0,1),使得f?(?)f?(?)?1. (20)(本题满分10分)

已知函数z=f(x,y) 的全微分dz?2xdx?2ydy,并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域

y2D?{(x,y)x??1}上的最大值和最小值.

42 (21)(本题满分9分) 计算二重积分

??Dx2?y2?1d?,其中D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}.

(22)(本题满分9分)

超级狩猎者

确定常数a,使向量组

?1?(1,1,a)T,?2?(1,a,1)T,?3?(a,1,1)T可由向量组

但向量组?1,?2,?3不能由向量?1?(1,1,a)T,?2?(?2,a,4)T,?3?(?2,a,a)T线性表示,组?1,?2,?3线性表示.

(23)(本题满分9分)

?123???已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零,矩阵B?246(k为常数),????36k??且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.

以下题型均在05年考研文登数学辅导班中讲过

1..【分析】 本题属基本题型,幂指函数的求导(或微分)问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.

【详解】 方法一: y?(1?sinx)x=e y??e从而 dyxln(1?sinx)xln(1?sinx),于是

?[ln(1?sinx)?x?cosx],

1?sinxx??=y?(?)dx???dx.

1?sinx),对x求导,得 方法二: 两边取对数,lny?xln(

1xcosxy??ln(1?sinx)?, y1?sinxx于是 y??(1?sinx)?[ln(1?sinx)?x? dy=y?(?)dx???dx.

cosx],故

1?sinxx??【评注】 幂指函数的求导问题,既不能单纯作为指数函数对待,也不能单纯作为幂函数,而直接运用相应的求导公式.

2..【分析】 本题属基本题型,直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.

【详解】 因为a=limx???f(x)(1?x)?lim?1, x???xxx32超级狩猎者

3232 b?lim?f(x)?ax??limx???(1?x)?xxx????3, 2于是所求斜渐近线方程为y?x?3. 2【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线,是基本要求,应熟练掌握。这里应注意两点:1)当存在水平渐近线时,不需要再求斜渐近线;2)若当x??时,极限

a?limx??f(x)不存在,则应进一步讨论x???或x???的情形,即在右或左侧是否存x在斜渐近线,本题定义域为x>0,所以只考虑x???的情形.

3..【分析】 作三角代换求积分即可. 【详解】 令x?sint,则

?(2?x01xdx2?)1?x2??20sintcostdt 2(2?sint)cost??20dcost =??2??arctan(cost)01?cos2t??4.

【评注】 本题为广义积分,但仍可以与普通积分一样对待作变量代换等.

4...【分析】直接套用一阶线性微分方程y??P(x)y?Q(x)的通解公式:

?P(x)dxP(x)dx y?e?[Q(x)e?dx?C],

?再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为

y??于是通解为 y?e=

?2y?lnx, x?xdx2[?lnx?e?xdx2dx?C]?1?[?x2lnxdx?C] 2x111xlnx?x?C2, 39x111由y(1)??得C=0,故所求解为y?xlnx?x.

939【评注】 本题虽属基本题型,但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外,本题也

可如下求解:原方程可化为

xy??2xy?xlnx,即 [xy]??xlnx,两边积分得

222213132xlnxdx?xlnx?x?C, ?3911再代入初始条件即可得所求解为y?xlnx?x.

39 xy?2