超级狩猎者
2005年数学二试题分析、详解和评注
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1）设y?(1?sinx)x，则dyx?? = .
（2） 曲线y?1(1?x)x232的斜渐近线方程为.
（3）
?(2?x0xdx2)1?x?
1的解为 9（4） 微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??（5）当x?0时，?(x)?kx2与?(x)?1?xarcsinx?cosx是等价无穷小，则k= .
（6）设?1,?2,?3均为3维列向量，记矩阵
A?(?1,?2,?3)，B?(?1??2??3,?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3)， 如果A?1，那么B? .
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（7）设函数f(x)?limn1?xn??3n，则f(x)在(??,??)内
(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.
(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]
\M?N\表示（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“M的充分必要条件是N”，
则必有
(A) F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数.
(C) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数.
(D) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数. [ ]
?x?t2?2t,（9）设函数y=y(x)由参数方程?确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x
?y?ln(1?t)轴交点的横坐标是
11ln2?3. (B) ?ln2?3. 88(C) ?8ln2?3. (D) 8ln2?3. [ ]
(A)
超级狩猎者
22（10）设区域D?{(x,y)x?y?4,x?0,y?0}，f(x)为D上的正值连续函数，a,b
为常数，则
??Daf(x)?bf(y)f(x)?f(y)d??
(A) ab?. (B)
aba?b?. (C) (a?b)?. (D) ? . [ ] 22（11）设函数u(x,y)??(x?y)??(x?y)??x?yx?y?(t)dt, 其中函数?具有二阶导数，
? 具有一阶导数，则必有
?2u?2u?2u?2u (A) ??2. （B） 2?2. 2?x?y?x?y?2u?2u?2u?2u(C) ?2. [ ] ?2. (D)
?x?y?x?x?y?y
（12）设函数f(x)?1exx?1,则 ?1(A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.
(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ]
（13）设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为?1,?2，则?1，
A(?1??2)线性无关的充分必要条件是
(A)
?1?0. (B) ?2?0. (C) ?1?0. (D) ?2?0. [ ]
**（14）设A为n（n?2）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, A,B分
别为A,B的伴随矩阵，则
(A) 交换A的第1列与第2列得B. (B) 交换A的第1行与第2行得B.
(C) 交换A的第1列与第2列得?B. (D) 交换A的第1行与第2行得?B. [ ] 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（15）（本题满分11分）
********超级狩猎者
?设函数f(x)连续，且f(0)?0，求极限limx?0x0(x?t)f(t)dtx0x?f(x?t)dt.
（16）（本题满分11分） 如图，C1和C2分别是y?1(1?ex)和y?ex的图象，过点(0,1)的曲线C3是一单调增2函数的图象. 过C2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly. 记C1,C2与lx所围图形的面积为S1(x)；C2,C3与ly所围图形的面积为S2(y).如果总有S1(x)?S2(y)，求曲线C3的方程x??(y).
（17）（本题满分11分）
如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分
?30(x2?x)f???(x)dx.
（18）（本题满分12分）
用变量代换x?cost(0?t??)化简微分方程(1?x2)y???xy??y?0，并求其满足
yx?0?1,y?x?0?2的特解.
（19）（本题满分12分）
已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明： （I）存在??(0,1), 使得f(?)?1??；
（II）存在两个不同的点?,??(0,1)，使得f?(?)f?(?)?1. （20）（本题满分10分）
已知函数z=f(x,y) 的全微分dz?2xdx?2ydy，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域
y2D?{(x,y)x??1}上的最大值和最小值.
42 （21）（本题满分9分） 计算二重积分
??Dx2?y2?1d?，其中D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}.
（22）（本题满分9分）
超级狩猎者
确定常数a,使向量组
?1?(1,1,a)T,?2?(1,a,1)T,?3?(a,1,1)T可由向量组
但向量组?1,?2,?3不能由向量?1?(1,1,a)T,?2?(?2,a,4)T,?3?(?2,a,a)T线性表示，组?1,?2,?3线性表示.
（23）（本题满分9分）
?123???已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B?246（k为常数），????36k??且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.
以下题型均在05年考研文登数学辅导班中讲过
1..【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.
【详解】 方法一： y?(1?sinx)x=e y??e从而 dyxln(1?sinx)xln(1?sinx)，于是
?[ln(1?sinx)?x?cosx]，
1?sinxx??=y?(?)dx???dx.
1?sinx)，对x求导，得 方法二： 两边取对数，lny?xln(
1xcosxy??ln(1?sinx)?， y1?sinxx于是 y??(1?sinx)?[ln(1?sinx)?x? dy=y?(?)dx???dx.
cosx]，故
1?sinxx??【评注】 幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数，而直接运用相应的求导公式.
2..【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.
【详解】 因为a=limx???f(x)(1?x)?lim?1, x???xxx32超级狩猎者
3232 b?lim?f(x)?ax??limx???(1?x)?xxx????3， 2于是所求斜渐近线方程为y?x?3. 2【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。这里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当x??时，极限
a?limx??f(x)不存在，则应进一步讨论x???或x???的情形，即在右或左侧是否存x在斜渐近线，本题定义域为x>0，所以只考虑x???的情形.
3..【分析】 作三角代换求积分即可. 【详解】 令x?sint，则
?(2?x01xdx2?)1?x2??20sintcostdt 2(2?sint)cost??20dcost =??2??arctan(cost)01?cos2t??4.
【评注】 本题为广义积分，但仍可以与普通积分一样对待作变量代换等.
4...【分析】直接套用一阶线性微分方程y??P(x)y?Q(x)的通解公式：
?P(x)dxP(x)dx y?e?[Q(x)e?dx?C]，
?再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为
y??于是通解为 y?e=
?2y?lnx， x?xdx2[?lnx?e?xdx2dx?C]?1?[?x2lnxdx?C] 2x111xlnx?x?C2， 39x111由y(1)??得C=0，故所求解为y?xlnx?x.
939【评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，本题也
可如下求解：原方程可化为
xy??2xy?xlnx，即 [xy]??xlnx，两边积分得
222213132xlnxdx?xlnx?x?C， ?3911再代入初始条件即可得所求解为y?xlnx?x.
39 xy?2