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数学思想方法教学的几点思考
作者：程茂山
来源：《小学教学参考(数学)》2012年第07期
与数学的概念和原理相比，数学思想方法是一种关于怎样解决数学问题、如何获得数学理论和技能的知识，它的获得不是学生对所学知识的简单认同，而是一个复杂的理解过程，也是一个内在的、主动的参与过程。在这个过程中，学生自己的直接感受和个体经验的积累是非常重要的。因此，数学思想方法需要教师在教学中结合具体教学内容有意识地渗透。 一、注重过程体验：让学生经历概念和原理的形成过程，逐步逼近数学思想方法的本质 数学概念和原理是进行数学思想方法教学的重要载体。这就要求教师精心设计教学过程，引导学生通过大量的观察、实验、分析、比较、鉴别、判断、归纳、概括、反思、修正等活动，逐步领悟并内化数学思想方法。也就是说，数学思想方法重在“悟”，悟就需要过程，需要一个循序渐进、逐步逼近思想本质的过程。
比如，一位教师在教学“圆的面积”时，通过让学生经历“化圆为方”“ 化曲为直”的过程，有效渗透了极限思想。
师：老师先将圆平均分成两份，你能把它拼成学过的图形吗？ 生：不能。
师：如果继续剪下去，平均分成4份（师剪），现在我们来拼一拼。 师：（拼后）这个图形好像有点意思。有点像什么？ 生：有点像平行四边形。
师：有点轮廓了，这思路真不错。但我们又发现剪成的图形和平行四边形不是很像，怎样才能更像呢？
生：平均分成8份再拼。
师：真是这样吗？让我们一起来看看。
师：（操作后）和刚才那个图形相比有什么变化呢？ 生1：比前面拼成的图形更像平行四边形了。
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生2：差不多是平行四边形了。 师：还能更接近平行四边形吗？ 生：平均分成16份。
师：借助这样的思路，小组合作动手剪一剪、拼一拼。 （学生操作后进行作品展示）
师：和前两次拼成的图形相比，又有什么变化？ 生：更像了！
师：从哪儿可以看出这幅图更接近平行四边形了？ 生：边越来越直了。
师：如果让我们拼成的图形还要更接近平行四边形，怎么办？ 生1：平均分成32份；生2：平均分成64份；生3:平均分成128份。
师：说得好，咱们请电脑帮个忙，把圆分别剪成32份、64份、128份，然后拼一拼，看看有什么感觉？
师：（边演示，边提问）平均分成32份，拼成的图形怎么样？ 生：更接近长方形了。
师：（边演示，边提问）平均分成64份，拼成的图形怎么样？ 生：还差一点就成长方形了。
师：想一想，把圆平均分成128份，拼成的图形会怎么样？ 生：基本和长方形一样了。 （电脑演示）
师：把圆平均分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形。想一想，如果咱们把圆一直平均分下去，当分的份数足够多时，拼成的图形就会怎样？
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生：如果把圆平均分的份数足够多，拼成的图形就是一个标准的长方形了。
上述案例中，采用极限分割思路，在观察有限分割的基础上，想象无限细分，根据图形分割拼合的变化趋势，想象它们的终极状态。学生在渐进式的操作、观察和想象中，经历了从有限到无限再到极限的过程，深切感悟了极限思想的巨大价值。这样的学习活动不仅有助于学生掌握圆的面积计算公式，而且让学生非常自然地在“曲”与“直”的矛盾转化中萌发了无限逼近的极限思想。学生如果没有经历这样一个渐进式的内化和感悟的过程，他们是无法真正理解和萌发极限思想的。
二、加强变式练习：提供变化性的问题情境，让学生在变式练习中领悟数学思想方法的真谛
数学思想方法属于策略性知识，要求学生在解决问题时能够根据问题的需要进行选择。教师在教学中要避免把利用数学思想方法解决问题的过程当成“刺激—反应”的过程，把思想方法变成了教条。因此，在教学一种数学思想方法时，有必要采用变式练习的策略，也就是通过具有变化性的问题情境，把那些在解题思想方法上具有相似或相关的内容，以不同的问题情境呈现出来，变中有不变，利于学生“透过现象看本质”，让学生在变式练习中领悟数学思想方法的真谛，体会数学思想方法对于解题活动的指导意义。例如，一位教师在教学转化思想方法时是这样安排的：
例题：学校美术组有35人，其中男生人数是女生的■。女生有多少人？
教师引导学生思考：是否可以把美术组人数作为单位“1”，直接用乘法计算出女生人数？学生通过讨论明确：如果把“男生人数是女生的■”转化成女生人数是美术组总人数的几分之几，就可以直接用乘法计算。接着引导学生思考并交流转化的方法。有的学生通过画线段图思考，有的学生把题中的分数关系转化成份数关系或比的关系并用相应的方法解答。解决了这道题，学生对用转化思想方法解决有关分数的实际问题有了初步的感悟。接着，教师出示了下列练习题，要求学生用转化的方法解决：
1.学校美术组有48人，女生人数比男生多■。男生有多少人？
2.学校运动队有70人，男生人数的■等于女生人数的■。男生有多少人？
3.有两枝蜡烛，当第一枝燃去■，第二枝燃去■时，它们剩下的部分一样长。这两枝蜡烛原来长度的比是（ ）︰（ ）。
虽然这三道题情境有所变化，但都需要通过转化单位“1”来解决。题组练习时，学生经历了变中找不变，他们对“为什么要转化？”“怎样转化？”“转化带来怎样的方便？” 等都会有深刻的感悟，进一步体会了转化方法“化难为易”的优势。
三、凸现多次孕育：在系统性、反复性的孕育中，实现学生对数学思想方法的掌握