2019-2020学年度最新数学高考（文）二轮复习专题集训：专题五 立体几何5-3-含解析 1．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，点D在棱BB1上，若BD＝3，则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为( )

23A.

55C. 4

4B．

3239D．

13

3→→→→→→→

解析： 如图，可得AD·EB＝(AB＋BD)·EB＝AB·EB＝4×23×＝12＝5×23×cos

2→→

θ(θ为AD与EB的夹角)，

231339所以cos θ＝，sin θ＝，tan θ＝，又因为BE⊥平面AA1C1C，所以所求角的

556239正切值为. 13

答案： D

2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E为AD的中点，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使得点A，D重合于F，此时二面角E-BC-F的余弦值为( )

A.C.7 213 2

B．D．

7 43 4

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解析： 如图所示，取BC的中点P，连接EP，FP，由题意得BF＝CF＝2， ∴PF⊥BC，又EB＝EC，∴EP⊥BC，∴∠EPF为二面角E-BC-F的平面角，而FP＝794＋－EP＋FP－EF441?2772?FB－?2BC?＝，在△EPF中，cos∠EPF＝＝＝. 22EP·FP74

2×2×

2

2

2

2

答案： B

3．在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则实数x的值为________．

→

解析： 由题意得AB＝(6，－2，－3)， →

AC＝(x－4,3，－6)，

→→AB·AC＝(6，－2，－3)·(x－4,3，－6) ＝6(x－4)－6＋18＝0， 解之得x＝2. 答案： 2

4．(2017·全国卷Ⅲ)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角； ②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角； ③直线AB与a所成角的最小值为45°； ④直线AB与a所成角的最大值为60°.

其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)

解析： 依题意建立如图所示的空间直角坐标系．设等腰直角三角形ABC的直角边长为1.

由题意知点B在平面xOy中形成的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．

→

设直线a的方向向量为a＝(0,1,0)，直线b的方向向量为b＝(1,0,0)，CB以Ox轴为始边沿逆时针方向旋转的旋转角为θ，θ∈[0,2π)，则B(cos θ，sin θ，0)，

→→

∴AB＝(cos θ，sin θ，－1)，|AB|＝2. 设直线AB与a所成夹角为α，

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→|AB·a|22

则cos α＝＝|sin θ|∈?0，?，

22?→?|a||AB|

∴45°≤α≤90°，∴③正确，④错误． 设直线AB与b所成夹角为β， →

|AB|·b2

则cos β＝＝|cos θ|.

2→

|b||AB|当直线AB与a的夹角为60°， 即α＝60°时，

则|sin θ|＝2cos α＝2cos 60°＝∴|cos θ|＝2

， 2

221.∴cos β＝|cos β|＝. 222

∵0°≤β≤90°，∴β＝60°，即直线AB与b的夹角为60°. ∴②正确．①错误． 答案： ②③

5．(2017·第三次调研考试)如图，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，点P在圆柱OQ的底面圆周上，G是DP的中点，圆柱OQ的底面圆的半径OA＝2，侧面积为83π，∠AOP＝120°.

(1)求证：AG⊥BD；

(2)求二面角P-AG-B的平面角的余弦值． 解析： 建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，

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