【解答】
（1）因为 AB=8，tan∠PBC=
34 所以 BC=DC=8，PCPC3BC?8?4
所以PC=6，BP=10，DP=2
当点R与点D重合时，因为PQ⊥BP，所以△BCP∽△RQP 所以
RPPQBP?PC，所以PQ?65。 （2）没有变化。
如图，设射线BP交AD的延长线于点H。 因为RQ⊥BP，QM⊥AD
所以∠RQM+∠MQH=90°，∠MHQ+∠MQH=90° 所以∠RQM=∠MHQ
因为AH∥BC，所以∠MHQ=∠PBC 所以Rt△RQM∽Rt△PBC 所以
RMMQ?PCBC?34。 （3）如图，由（2）易得Rt△RQM∽Rt△PBC∽Rt△QHM∽PHD
因为DP=2，所以DH=8，PH=1033 所以QH=103?x，所以MQ=3?10?5??3?x??
因为
RMMQ?3y34，所以3?? 5?10?3?x??4?解得y?920x?3?2??0?x?26?5??。 金山区
静安
25．（1）证明：∵四边形ABCD中， AD=DC，AB=BC，
∴∠DAC＝∠DCA，∠BAC＝∠BCA ………………………………………………（1分）
∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠BCA， ……………………………………………………………………（1分）
F 在△ABC和△ADC中，
??DAC??BAC?∴△ABC≌△ADC …………（1分） ?AC?AC??DCA??BCA ?∴AB＝AD，BC＝DC，∴AB＝AD＝DC＝BC， …（1分） ∴四边形ABCD是菱形．
（2）解：如图②，∵四边形ABCD是菱形，
A ∴AD∥BC，∴∠FAC＝∠ACB，∠AFB＝∠FBC，
D G
C
E
B
第25题图②
∵∠AFB =∠ACB，∴∠F＝∠FAC，
又∵AC平分∠BAD，∴∠ACB＝∠FBC＝∠CAB， ∵∠ECB＝∠BCA，∴△CEB∽△CBA，∴
CECB?，………………………………（2分） CBCA∵AB长度是a（a是常数，且a?0），AC=x，AF=y，
CEaa2?， ∴CE?∴， axxa2x2?a2?∴AE?x?， ……………………………………………………………（1分） xxAFAEyx2?a2?又∵AF∥BC，∴ ∴?…………………………………………（1分） BCECaa2x2?a2∴y? ． ………………………………………………………………………（1分）
a又∵0°＜∠BAD ≤90°∴此函数定义域为（2a?x?2a）． ……………………（1分）
（3）解：∵四边形ABCD是菱形， DC∥AB，∴△CGE∽△ABE ∴当△CGE是等腰三角形时，△ABE是等腰三角形．
aBECBBEa2?∵△CEB∽△CBA ∴， 即?，∴BE＝…………………………（1分）
xaCAABxx2?a2?a，即x2?ax?a2?0， ①当AE＝AB时，
xa?5aa?5a解得x?（经检验x?是原方程的根且符合题意，负值舍去）
221?5 ∴AC＝a……………………………………………………………………………（1分）
2x2?a2a2?②当AE＝BE时，， xx解得 x??2a（经检验x?2a是原方程的根且符合题意，负值舍去）
∴AC＝2a ……………………………………………………………………………（1分）
a2③当AB＝BE时，a?，解得x?a（经检验x?a不合题意，舍去） ……………（1分）
x1?5∴AC的长为 2a或a ．
2闵行区
25．解：（1）过点E作EH⊥AB于点H，
∵∠EDF=90°，∠EDA=∠FDB，∴∠EDA=∠FDB=45°．………………（1分） 在Rt△EHD中，设DH=EH=a，
BCEH3在Rt△AEH中和Rt△ABC中，tan∠A=??，
ACAH44∴AH=a．…………………………………………………………………（1分）
3∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB?AC2+BC2=5．
∵CD是斜边上中线，∴CD=
5． 24515∵AH+HD=AD，∴a+a?，解得a?．……………………………（1分）
3214525∴AE=a=．……………………………………………………………（1分）
314（2）分别过点E、F作AB的垂线垂足为H、M，
∵CE=x，CF=y，∴AE=4?x，CF=3?y．
34在Rt△AEH中，EH?(4?x)，AH?(4?x)．………………………（1分）
5543同理Rt△BFM中，FM?(3?y)，BM?(3?y)．…………………（1分）
554737∴DH?x?，DM?y?．………………………………………（1分）
510510C Rt△FHD和Rt△FMD中， ∵∠EDA=∠FDB，
F G ∴tan∠EDA=tan∠FDB．……………（1分）
E 43(3?y)(4?x)55即： =3747y?x?M 510510A D B H
117x?168化简得y?．……………………………………………………（1分）
14x?4456函数定义域为?x?4．…………………………………………………（1分）
39（3）（i）当CG=CF时，
过点G作GN⊥BC于点N，CF=CG =y， C 34N Rt△HCG中，cos∠DCB=，sin∠DCB=，
55F G E 34∴CN=y，GN=y．
552∴FN=y．
5A D B
∵GN∥AC， CFFN1∴?=．………………………………………………………（2分） CEGN2（ii）当CF=GF时，
过点G作GP⊥BC于点P，CF=y，
36∵cos∠DCB=，∴CG?2?(y?cos?DCB)?y
5534C Rt△PCG中，cos∠DCB=，sin∠DCB=，
55P
1824G F ∴CP=y，GP=y， 2525E 7∴FP=y，
25∵GP∥AC，
A D B
CFPF7∴?=．…………………………………………………（2分） CEPG24（iii）CG=CF的情况不存在．