6.2 教材第六章习题解答

1. 设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率fp?6kHz，通带最大衰减ap?3dB，阻带截止频率fs?12kHz，阻带最小衰减as?3dB。求出滤波器归一化传输函数Ha(p)以及实际的Ha(s)。 解：

（1）求阶数N。

lgksp N??lg?sp边界衰减比 ksp?过渡比 ?sp?1010?s?p0.1ap0.1as?1?1?10100.32.53?1?1?0.0562

2??12?10??2 32??6?10将ksp和?sp值代入N的计算公式得

lg2所以取N=5（实际应用中，根据具体要求，也可能取N=4，指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化。）

（2）求归一化系统函数Ha(p)，由阶数N=5直接查表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波

N??lg0.0562?4.15

器系统函数Ha(p)为

Ha(p)?1p?3.2361p?5.2361p?5.2361p?3.2361p?11225432

或 Ha(p)?(p?0.618p?1)(p?1.618p?1)(p?1)当然，也可以按（6.12）式计算出极点:

pk?e12k?1j?(?)22N,k?0,1,2,3,4

1按（6.11）式写出Ha(p)表达式

Ha(p)?4 pk)?(p?k?0代入pk值并进行分母展开得到与查表相同的结果。

（3）去归一化（即LP-LP频率变换），由归一化系统函数Ha(p)得到实际滤波器系统函数

Ha(s)。

由于本题中?p?3dB，即?c??p?2??6?10rad/s，因此 Ha(s)?Ha(p)s ?c?cs?3.236?1sc5453p? ??5.23?6s12c3?5.?23s61?3c23?.s23?61?cc4

5对分母因式形式，则有

Ha(s)?Ha(p)p?s ?c?c52 ?(s?0.618?c0s??c2s)(?21.6?1s80??cc2s?)c(?

)如上结果中，?c的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3dB截止频率对归一化系统函数的改变作用。

3.设计一个巴特沃斯高通滤波器，要求其通带截止频率fp=20kHz，阻带截止频率fs=10kHz，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减为15dB。求出该高通滤波器的系统函数Ha(s)。 解：（1）确定高通滤波器的技术指标：

fp?20kHz， ?p?3dB ， fs?10kHz ， ?s?15dB （2）转化为相应的归一化低通滤波器的技术指标：

?ph20?p?1， ?p?3dB， ?s??p??2 ， ?s?15dB

?sh10（3）求低通滤波器的阶数N ksp?10100.1?s0.1?p?1?1?2

?10100.1?150.1?3?1?1?30.62280.9953?5.5468

?sp?N??s?p?21lg10ksplg10?sp?lg5.5468lg2?0.74400.3010?2.47 取 N?3

（4）求巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数G(p), 查表6.2.1可得： G(p)?1p?2p?2p?132

（5）通过频率转换，把G(p)转变为高通滤波器的系统函数H(s) H(s)?G(p)p??p?sph???ph??s?1???ph???ph??????2?2??s??s???1?????32

?s32323?ph?2s?ph?2s?ph?s

4式中 ?ph??c?2??20000?4??10rad/s

4. 已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为： (1)Ha(s)?(2)Ha(s)?s?a(s?a)?bb(s?a)?b2222；

。式中，a,b为常数，设Ha(s)因果稳定，试采用脉冲响应不变

法，分别将其转换成数字滤波器H(z)。

解：

该题所给Ha(s)正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。所以，求解该题具有代表性，

解该题的过程，就是导出这两种典型形式的Ha(s)的脉冲响应不变法转换公式，设采样周期为T。 （1）Ha(s)?s?a(s?a)?b22

Ha(s)的极点为：

s1??a?jb，s2??a?jb

将Ha(s)部分分式展开（用待定系数法）：

Ha(s)?s?a(s?a)?b22?A1s?s12?A2s?s2

(s?a)?b比较分子各项系数可知：

A、B应满足方程：

?A1(s?s2)?A2(s?s1)2?(A1?A2)s?A1s2?A2s1(s?a)?b22?A1?A2?1 ??As?As?a?1221解之得

A1?12,A2?12

所以

2H(z)??1?ek?1AkskTz?1?0.51?e(?a?jb)Tz?1?0.51?e(?a?jb)Tz?11Ha(s)?2122? s?(?a?jb)s?(?a?jb)z?1H(z)??1?ek?1AkskT?0.51?e(?a?jb)Tz?1?0.51?e(?a?jb)Tz?1

按照题目要求，上面的H(z)表达式就可作为该题的答案。但在工程实际中，一般用无复数乘法器的二阶基本结构实现。由于两个极点共轭对称，所以将H(z)的两项通分并化简整理，可得

H(z)?1?ze1?2e?aT?1?aTcos(bT)?1cos(bT)z?e?2aTz?2

用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时，直接套用上面的公式即可，且对应结构图中无复数乘法器，便于工程实际中实现。

b（2） Ha(s)? 22(s?a)?bHa(s)的极点为：

s1??a?jb，s2??a?jb

将Ha(s)部分分式展开：

j22Ha(s)?? s?(?a?jb)s?(?a?jb)H(z)?

1j?10.5j1?e(?a?jb)Tz?1??0.5j1?e(?a?jb)Tz?1

通分并化简整理得

H(z)?ze1?2e?aT?1?aTsin(bT)?1cos(bT)z?e?2aTz?2