当市场要求收益率上升50个基点时，债券的价格变化为：

1???P?1100???10?0.005??144?(0.005)2???53.02

2??当市场要求收益率上升100个基点时，债券的价格变化为：

1???P?1100???10?0.01??144?(0.01)2???102.08

2??当市场要求收益率下降50个基点时，债券的价格变化为：

1???P?1100???10?(?0.005)??144?(?0.005)2??56.98

2??当市场要求收益率下降100个基点时，债券的价格变化为：

1???P?1100???10?(?0.01)??144?(?0.01)2??117.92

2??7．一个债券当前价格为102.5元，如果利率上升0.5个百分点，价格降到100；如果利

率下降0.5个百分点，价格上升到105.5，请计算：（1）该债券的有效久期；（2）该债券利率下降1个百分点时的价格。 解答：

有效持续期为：

Deffective?P??P?105.5?100/P?/102.5?5.366

y??y?0.01该债券利率下降1个百分点时的价格为：

?P?P?Deffective?1%?102.5?5.366%?5.5

即债券的价格为102.5+5.5=108元

8．假设某5年期债券，面值为1000元，票面利率为6%，每年付息一次，到期收益率为8%。试计算该债券的金额久期、Macaulay久期。若到期收益率上升和下降10基点后，债券的价格分别为916.3736和923.9381，试计算该债券的有效久期。 解答：

首先计算债券的价格为：

P?606060601060?????920.1458

1?8%(1?8%)2(1?8%)3(1?8%)4(1?8%)5债券的金额久期为：

606060601060?1??2??3??4??5?4084.824 23451?8%(1?8%)(1?8%)(1?8%)(1?8%)债券的Macaulay久期为：

606060601060?1??2??3??4??523451?8%(1?8%)(1?8%)(1?8%)(1?8%)?4.439

920.1458债券的有效久期为：

Deffective?P??P?923.9381?916.3736??2.055

2??y?P2?0.002?920.14589. 设某债券每年支付利息100元，10年期，面值为1000元，平价交易，基收益率曲线为水平状，试求出其D系数。假设收益率曲线不变化，在其他条件不变时，试求债券的期限分别为3年、5年和8年时的D系数分别是多少？ 解答：

解：若债券的期限是10年，则其D系数为：

?Ct?t?(1?i)?P0????1001001100100?2910??t?(1?10%)?1?(1?10%)?2???(1?10%)?9?(1?10%)?10 ?1000100010001000???D10??t?110解得：D10?6.76

若债券的期限是3年，则其D系数为：

1001100100(1?10%)(1?10%)2(1?10%)3D3??1??2??3

100010001000解得：D3?2.74

若债券的期限是5年，则其D系数为：

1001001001100100(1?10%)(1?10%)2(1?10%)3(1?10%)4(1?10%)5D5??1??2??3??4??5

10001000100010001000解得：D5?4.17

若债券的期限是8年，则其D系数为：

?Ct?t?(1?i)?P0????1001001100100?278??t?(1?10%)?1?(1?10%)?2???(1?10%)?7?(1?10%)?8?1000100010001000???D8??t?18解得：D8?5.87

10. 给定下列债券，试构建两个不同的债券组合，但组合的D系数都为9：

债券 A B

D系数

5 10

C 12

解答：

显然只有债券A与B、B与C构成的组合，它们的D系数才可能为9，首先考虑A与B构成的组合，设该组合中债券A所占的比例为x，根据题意则有：

5x?10(1?x)?9 解得：x?0.2

这说明在A与B构成的组合中，如果债券A所占的比例为20％，债券B所占的比例为80％，则该组合的D系数为9。

同样的方法可求出在A与C构成的组合中，如果债券A所占的比例为42.9％，债券B所占的比例为57.1％，则该组合的D系数为9。

11. 投资者被要求将下列债券考虑进公司的固定收入投资组合：

发行者 Wiser公司

票息（%）

8

到期收益（%）

8

到期（年）

10

D系数（年）

7.25

（1）（a）解释为什么债券的D系数小于到期期限。 （b）解释到期期限为什么没有D系数更适合于度量债券对利率变化的灵敏度。 （2）简要解释下列条件对此公司债券D系数的影响：

（a）票息为4%而不是8%。 （b）到期收益为4%而不是8%。 （c）到期期限为7年而不是10年。 解答： （1）（a）因为投资者在债券持有期间有现金流收入。

（b）这是因为用到期期限来度量债券对利率变化的灵敏度忽视了债券中间时期的现

金流，仅关注到期时的最后支付，然而利息支付（中间时期现金流）对于利率风险是很重要的；而利用D系数度量债券对利率变化的灵敏度则考虑到了这些不足。

（2）（a）D系数增大。因为总的现金流的大部分依利息支付形式更晚出现。

（b）D系数增大。到期收益率低，会使得债券后期的现金流的现值较大，进一步

使得后期年数的加权系数变大，从而导致D系数增大。

(c) D系数变小。因为到期期限越短，现金流回报越快，从而D系数变小。

12. 假设有面值为1000元、年息票利息为100元的5年期债券按面值出售。若债券的到期收益率提高到12%，则价格变化的百分比是多少？若到期收益下降到8%，则价格变化的百分比又是多少？ 解答： 易知该债券的到期收益率y，y?10%。 进一步，可计算出该债券的D系数为：

1001001001001100234(1?10%)(1?10%)(1?10%)(1?10%)(1?10%)5D5??1??2??3??4??5?4.17

10001000100010001000

因此，当债券的到期收益率提高到12％时，其价格变化率为：

?4.17?12%?10%??7.58%

1?10%当债券的到期收益率下降到8％时，其价格变化率为：

?4.17?8%?10%?7.58%

1?10. 假设一张20年期、息票为零、到期收益率为7.5%的债券。计算利率下降50个基点时价格变化的百分比，并与利用凸率计算出来的价格变化百分比进行比较。 解答：

由于该债券为零息债券，故该债券的D系数为：D?20，当利率下降0.5％时，债券价格的变化率为：

?20??0.5%?9.3%

1?7.5%进一步的，可计算出该债券的凸率为：

20?21?C201(1?i)20V??

2P0而C20?P0(1?i)20 因此，

20?21?C201V??2(1?i)20P0?1?20?21?210 2于是利用凸率计算出来的价格变化百分比为：

?20??0.5%?0.5%2?210?()?9.76%

1?7.5%1?7.5%

14. 面值1000元、票面利率12%（按年支付）的3年期债券的到期收益率为9%，计算它的D系数和凸率。如果预期到期收益率增长1%，那么价格变化多少？ 解答：

首先，计算债券的现值：

P0?1201201120???1075.94

(1?9%)(1?9%)2(1?9%)3计算债券的D系数为：

1201120120(1?9%)(1?9%)2(1?9%)3D??1??2??3?2.7

1075.941075.941075.94债券的凸率为：