错误解答:(a?2b?3c)(a?2b?3c)
?[a?(2b?3c)](a?2b?3c) ?a2?(2b?3c)2
?a2?4b2?12bc?9c2.
错因分析:错解在找平方差公式中的“a”与“b”时产生了错误.对于此类题型，只要将各括号内的符号相同项结合为一组，看作公式中的“a”，再将符号相反项结合为一组，看作公式中的“b”，就可避免出现上述错误. 正确解答: (a?2b?3c)(a?2b?3c) ?[(a?3c)?2b][(a?3c)?2b] ?(a?3c)?(2b) ?a?6ac?9c?4b.
易错辨析:两个因式中符号相同的视为“a”，符号相反的视为“b”. 易错点7 分解因式不彻底
例7 分解因式: x?8y(x?2y)
错误解答:原式x?8y(x?2y)?(x?4y)?x?8xy?16y.
错因分析:运用完全平方公式是正确的，但分解不彻底，x?4y还可分解为
2242222224224422222222(x?2y)(x?2y).
正确解答:原式?x?8xy?16y
4224?(x2?4y2)2 ?(x?2y)2(x?2y)2.
易错辨析:分解因式要分解到不能再分解为止.
反馈练习
1.下面因式分解正确的是( )
A. x?2x?1?x(x?2)?1 B. (x?4)x?x?4x C. ax?bx?(a?b)x D. m?2mn?n?(m?n) 点拨:因式分解的结果必须为几个因式积的形式. 2.下列运算中，正确的是( )
6
222223 A. (a?b)?a?b B. (a?2b)(a?2b)?a?2b C. (a?b)(?a?b)?a?b D. (?a?b)(?a?b)?a?b 点拨:利用平方差或完全平方公式运算即可.
3. (2018·常州月考)由完全平方公式可知3?2?3?5?5?(3?5)?64，运用这一方法计算: 4.3210?8.642?0.6790?0.6790? . 点拨:把4.3210看作“a”，把0.6790看作“b”，用完全平方公式运算. 4.计算:
(1) 10xyzg(?
(3) (2t?1)?(2t?1)(2t?1)； (4) (x?2y?1)(x?2y?1).
点拨:注意公式的运用和计算的顺序. 5. (1)已知(2x?3y)?4x?6y?5??6，求
2222222222222222231421xy)； (2) (ab2?2ab)gab； 2322x?3y的值 5
(2)已知2x?3?0，求代数式x(x?x)?x(5?x)?9的值.
点拨:把已知或结论中较为繁琐的式子先化简. 6.把下列各式分解因式:
32 (1) x?2x?x； (2) 25(m?n)?9n； 5(3) (a?1)?b(1?a)； (4) x?x
22222
点拨:有公因式先提取公因式，再考虑使用乘法公式，注意是否分解彻底. 探究与应用
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探究1 含字母系数的多项式中的存在问题
23例1已知(x?nx?3)(x?3x?m)的展开式中不含x和x的项，求m,n的值.
2322点拨:先把原式展开，从中找出含x和x的项，再让它们的系数分别为0，从而得到关于m,n的关系式，求解即可.
23解答:原式?x?(n?3)x?(m?3?3n)x?(mn?9)x?3m.因为展开式中不含x和x的
432项，所以??n?3?0?m?6，解得?.故m,n的值分别是6，3.
?m?3?3n?0?n?3规律·提示
先进行多项式的乘法运算得到展开式，展开式中不含哪一项，则该项的系数为0. 【举一反三】
1.已知多项式x?x?a与2x?b的乘积中含x的项的系数为3，含x的项的系数为2，求
22a?b=的值.
探究2 多项式的乘法与图形面积之间的联系
例2 利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性. (1)根据图①写出一个代数恒等式;
(2)恒等式(2a?b)(a?b)?2a?3ab?b，也可以利用图②的面积解释，请用图②的面积说明: (2a?b)(a?b)?2a?3ab?b;
(3)已知正数a,b,c和m,n,l满足a?m?b?n?c?l?k，试构造边长为k的正方形，利用面积来说明: al?bm?cn?k.
22222
点拨:(1)利用面积法，各部分面积用代数式表示即可;(2)利用图②的两种面积表示方法即可说明;
(3)利用面积法构造正方形，使其边长为a?m?b?n?c?l?k(注意a?b?c，
m?n?l)，并且正方形里有长和宽分别是a,la；b,m；c,n的长方形，通过画成的图③
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可发现，al?bm?cn?k.
解答:(1)答案不唯一，如:4ab?(a?b)?(a?b).
(2)因为图②的面积可表示为(2a?b)(a?b)，也可表示为2a?3ab?b，所以
22222(2a?b)(a?b)?2a2?3ab?b2.
(3)如图③，构造一个边长为k的正方形，显然a?m?b?n?c?l?k.根据图形可知正方形内部3个长方形的面积和小于正方形的面积，即al?bm?cn?k.
2
规律·提示
要理解完全平方公式的几何背景及公式间的相互转化，利用几何图形推导代数恒等式时，要注意几何图形整体面积与各部分面积的关系.
【举一反三】
2.我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图①可以得到(a?2b)(a?b)?a?3ab?2b.请解答下列问题:
(1)写出图②中所表示的数学等式;
(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题:已知a?b?c?11，ab?bc?ac?38，求
22a2?b2?c2的值;
(3)小明同学用3张边长为a的正方形纸片，4张边长为b的正方形纸片，7张长和宽分别
为a,b的长方形纸片拼出了一个大长方形，那么大长方形较长一边的边长为多少? (4)小明同学又用x张边长为a的正方形纸片，y张边长为b的正方形纸片，z张长和宽分
别为a,b的长方形纸片拼出了一个面积为(25?7b)(18a?45b)的大长方形，那么
x?y?z? 。
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探究3 巧用乘法公式化繁为简
例3 已知(2000?a)(1998?a)?1999，那么(2000?a)?(1998?a)? 。 点拨:设2000?a?m，1998?a?n，将问题转化为已知mn?1999，求m?n的值.但此问题缺少条件，再根据隐含条件m?n?(2000?a)?(1998?a)?2就可以利用
2222m2?n2?(m?n)2?2mn求解.
解答:设2000?a?m，1998?a?n，
则mn?1999，m?n?2，
则原式?m?n?(m?n)?2mn?2?2?1999?4002.
规律·提示
认真观察已知条件和所求结论之间的关系，已知两数之积与两数之差，求两数的平方和，巧妙地运用完全平方公式使计算简便.
【举一反三】
23.已知(x?2015)?(x?2017)?34，则(x?2016)的值是( )
222222A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 探究4 巧用拆项和添项分解因式 例4 把下列各式分解因式: (1) x?3x?4;
(2) 4x?4x?y?4y?3.
点拨:(1)拆?3x或4均可，也可既拆项又添项;(2)将?3拆成1和?4，然后运用分组分解法分解.
解答:(1)解法一:原式?x?x?4x?4 ?x(x?1)?4(x?1)(x?1)
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222322322