?Nj???2je,k?m??N?j?（2）X(k)??je,k?N?m
?2?0,其它k??解： （1）
1x(n)?IDFT[X(k)]?N1??e2?（2）
2?j(mn??)N?Wn?0N?1?knN1?N?2?mn?Nj?j2NN?j?jN(N?m)n??ee?ee?22???e2??j(mn??)N?2???cos(mn??),n?0,1,?N?1N?
x(n)?1N?Nj??mnN?j??(N?m)n??jeWN?eWN ??22??2?2?1?j(Nmn??)?j(Nmn??)?2??e?e?sin(mn??),n?0,1,?N?1 ??2j?N?3. 长度为N=10的两个有限长序列
?1,0?n?4?1,0?n?4 x2(n)?? x1(n)???0,5?n?9??1,5?n?9作图表示x1(n)、x2(n)和y(n)?x1(n)?x2(n)。 解：
x1(n)、x2(n)和y(n)?x1(n)?x2(n)分别如题3解图（a）、（b）、（c）所示。
14. 两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为:
x(n)?0,n?0,8?n
y(n)?0,n?0,20?n对每个序列作20点DFT,即
X(k)?DFT[x(n)],k?0,1,L,19
Y(k)?DFT[y(n)],k?0,1,L,19如果
F(k)?X(k)?Y(k),k?0,1,L,19
f(n)?IDFT[F(k)],k?0,1,L,19 21
试问在哪些点上f(n)?x(n)*y(n)，为什么？ 解：
如前所示，记f(n)?x(n)*y(n)，而f(n)?IDFT[F(k)]?x(n)?y(n)。fl(n) 长度为27，f(n)长度为20。已推出二者的关系为
f(n)?m????f(n?20m)?Rl?20(n)
只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足f(n)?fl(n)所以
f(n)?fl(n)?x(n)?y(n),7?n?19
15. 用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率F?50Hz，信号最高频率为1kHZ，试确定以下各参数： （1）最小记录时间Tpmin； （2）最大取样间隔Tmax； （3）最少采样点数Nmin；
（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。 解：
（1）已知F?50HZ
Tpmin?（2）Tmax?11??0.02s F501fmin?11??0.5ms 2fmax2?103（3）Nmin?TpT?0.02s?40 ?30.5?10（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）
Nmin?0.04s?80
0.5ms18. 我们希望利用h(n)长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M=100个采样点），但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与h(n)的L点（本题取L=128）循环卷积，得到输出序列ym(n)，m表示第m段计算输出。最后，从ym(n) 22
中取出Ｂ个，使每段取出的Ｂ个采样点连接得到滤波输出y(n)。 （1）求V； （2）求B；
（3）确定取出的B个采样应为ym(n)中的哪些采样点。 解：
为了便于叙述，规定循环卷积的输出序列ym(n)的序列标号为0，1，2，…,127。 先以h(n)与各段输入的线性卷积ylm(n)考虑，ylm(n)中，第0点到48点（共49个点）不正确，不能作为滤波输出，第49点到第99点（共51个点）为正确的滤波输出序列y(n)的一段，即B=51。所以，为了去除前面49个不正确点，取出51个正确的点连续得到不间断又无多余点的y(n)，必须重叠100-51=49个点，即V=49。
下面说明，对128点的循环卷积ym(n)，上述结果也是正确的。我们知道
ym(n)?因为ylm(n)长度为
r????y?lm(n?128r)?R128(n)
N+M-1=50+100-1=149
所以从n=20到127区域， ym(n)?ylm(n)，当然，第49点到第99点二者亦相等，所以，所取出的第51点为从第49到99点的ym(n)。 综上所述，总结所得结论
V=49,B=51
选取ym(n)中第49~99点作为滤波输出。
5.2 教材第五章习题解答
1. 设系统用下面的差分方程描述：
y(n)?311y(n?1)?y(n?2)?x(n)?x(n?1)， 483试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。
解：
y(n)?将上式进行Z变换
311y(n?1)?y(n?2)?x(n)?x(n?1) 483311Y(z)?Y(z)z?1?Y(z)z?2?X(z)?X(z)z?1
483
23
11?z?13 H(z)?3?11?21?z?z48（1）按照系统函数H(z)，根据Masson公式，画出直接型结构如题1解图（一）所示。 （2）将H(z)的分母进行因式分解
11?z?13 H(z)?3?11?21?z?z4811?z?13 ? 1?11?1(1?z)(1?z)24按照上式可以有两种级联型结构：
11?z?113(a) H(z)? ?1?11?1(1?z)(1?z)24画出级联型结构如题1解图（二）（a）所示
11?z?113(b) H(z)? ?1?11?1(1?z)(1?z)24画出级联型结构如题1解图（二）（b）所示 （3）将H(z)进行部分分式展开
11(1?z?1)(1?z?1)241z?H(z)AB3 ???1111z(z?)(z?)z?z?24241z?1103 A?(z?)?11123z?(z?)(z?)224H(z)?11?z?13
24
17(z?)?? 1114z?3(z?)(z?)424107H(z)?3?3
11zz?z?24107107zz?33 H(z)?3?3??1111z?z?1?z?11?z?12424B?根据上式画出并联型结构如题1解图（三）所示。
2. 设数字滤波器的差分方程为
z?13y(n)?(a?b)y(n?1)?aby(n?2)?x(n?2)?(a?b)x(n?1)?abx(n)，
试画出该滤波器的直接型、级联型和并联型结构。 解：
将差分方程进行Z变换，得到
Y(z)?(a?b)Y(z)z?1?abY(z)z?2?X(z)z?2?(a?b)X(z)z?1?abX(z)
Y(z)ab?(a?b)z?1?z?2H(z)?? ?1?2X(z)1?(a?b)z?abz（1）按照Massion公式直接画出直接型结构如题2解图（一）所示。 （2）将H(z)的分子和分母进行因式分解：
(a?z?1)(b?z?1)H(z)??H1(z)H2(z) ?1?1(1?az)(1?bz)按照上式可以有两种级联型结构：
z?1?a(a) H1(z)? ?11?azz?1?bH2(z)?
1?bz?1画出级联型结构如题2解图（二）（a）所示。
z?1?a(b) H1(z)? ?11?bzz?1?bH2(z)?
1?az?1 25