解该题的过程，就是导出这两种典型形式的Ha(s)的脉冲响应不变法转换公式，设采样周期为T。 （1）Ha(s)?s?a

(s?a)2?b2Ha(s)的极点为：

s1??a?jb，s2??a?jb

将Ha(s)部分分式展开（用待定系数法）：

Ha(s)?A1A2s?a?? 22(s?a)?bs?s1s?s2?A1(s?s2)?A2(s?s1)(A1?A2)s?A1s2?A2s1?

(s?a)2?b2(s?a)2?b2比较分子各项系数可知：

A、B应满足方程：

?A1?A2?1 ???A1s2?A2s1?a解之得

11A1?,A2?

22所以

H(z)??Ak0.50.5??skT?1z1?e(?a?jb)Tz?11?e(?a?jb)Tz?1k?11?e21122Ha(s)?? s?(?a?jb)s?(?a?jb)H(z)??Ak0.50.5?? skT?1(?a?jb)T?1(?a?jb)T?1z1?ez1?ezk?11?e2按照题目要求，上面的H(z)表达式就可作为该题的答案。但在工程实际中，一般用无复数乘法器的二阶基本结构实现。由于两个极点共轭对称，所以将H(z)的两项通分并化简整理，可得

1?z?1e?aTcos(bT)H(z)? ?aT?1?2aT?21?2ecos(bT)z?ez

31

用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时，直接套用上面的公式即可，且对应结构图中无复数乘法器，便于工程实际中实现。 （2） Ha(s)?b

(s?a)2?b2Ha(s)的极点为：

s1??a?jb，s2??a?jb

将Ha(s)部分分式展开：

11j?j22Ha(s)?? s?(?a?jb)s?(?a?jb)H(z)?通分并化简整理得

0.5j1?e(?a?jb)Tz??1?0.5j (?a?jb)T?11?ezz?1e?aTsin(bT)H(z)?

1?2e?aTcos(bT)z?1?e?2aTz?25. 已知模拟滤波器的传输函数为： （1）Ha(s)?1；

s2?s?1（2）Ha(s)?1试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别将其转换为数字滤波22s?3s?1器，设T=2s。 解：

（1）用脉冲响应不变法

①Ha(s)?1 2s?s?1方法1 直接按脉冲响应不变法设计公式，Ha(s)的极点为：

s1??0.5?j33，s2??0.5?j

22?jHa(s)?333)2j?333)2

s?(?0.5?js?(?0.5?j 32

?jH(z)?1?e代入T=2s

33z?1j?1?e33z?13(?0.5?j)T23(?0.5?j)T2

?jH(z)?1?e33zj?1?e33z(?1?j3)?1(?1?j3)?1

23z?1e?1sin3 ???1?1?2?231?2zecos3?ez方法2 直接套用4题(2)所得公式，为了套用公式，先对Ha(s)的分母配方，将Ha(s)化成4题中的标准形式：

Ha(s)?由于

b?c,c为一常数，

(s?a)2?b21313s2?s?1?(s?)2??(s?)2?()2

2422所以

Ha(s)?1s?s2?s?13/213(s?)2?()222?23 3对比可知，a?13,b?，套用公式得 2223z?1e?aTsin(bT) H(z)???aT?1?2aT?231?2ecos(bT)z?ezT=223z?1e?1sin3 ??31?2z?1e?1cos3?e?2z?2② Ha(s)?11-1=+ 22s?3s?1s+0.5s+1H(z)= =或通分合并两项得

11-e-0.5Tz+-1-1

1-e-Tz-1T=21-1+

1-e-1z-11-e-2z-1 33

(e-1-e-2)z-1H(z)=

1-(e-1+e-2)z-1+e-3z?2（2）用双线性变换法

① H(z)?Ha(s) 21?z?1s?,T?2T1?z?1?11?z21?z()??1?1?11?z1?z?1?1

(1?z?1)2? (1?z?1)2?(1?z?1)(1?z?1)?(1?z?1)21?2z?1?z?2?

3?z?2② H(z)?Ha(s) 21?z?1s?,T?2T1?z?1?11?z21?z2()?3?1?1?11?z1?z?1?1

(1?z?1)2? 2(1?z?1)2?3(1?z?2)?(1?z?1)21?2z?1?z?2?

6?2z?17. 假设某模拟滤波器Ha(s)是一个低通滤波器，又知H(z)?Ha(s)s?z?1z?1，数字滤波器

H(z)的通带中心位于下面的哪种情况？并说明原因。

（1）w?0 (低通)； （2）w??（高通）；

（3）除0或?外的某一频率（带通）。 解：

34

按题意可写出

H(z)?Ha(s)故

z?1 s?z?1wz?1e?12?jcotw s?j????jwz?1z?ejwejw?12sin2jwcos即

??cotw 2原模拟低通滤波器以??0为通带中心，由上式可知，??0时，对应于w??，故答案为（2）。 9. 设计低通数字滤波器，要求通带内频率低于0.2?rad时，容许幅度误差在1dB之内；频率在0.3?到?之间的阻带衰减大于10dB；试采用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计，用脉冲响应不变法进行转换，采样间隔T=1ms。 解：

本题要求用巴特沃斯型模拟滤波器设计，所以，由巴特沃斯滤波器的单调下降特性，数字滤波器指标描述如下：

wp?0.2?rad,ap?1dBws?0.3?rad,as?10dBwp

采用脉冲响应不变法转换，所以，相应模拟低通巴特沃斯滤波器指标为：

?0.2??1000?200?(rad/s),ap?1dBT w?s?s?0.3??1000?300?(rad/s),as?10dBT?p?（1）求滤波器阶数N及归一化系统函数Ha(p)：

N??0.1algksplg?sp

10p?1100.1?1ksp???0.1696 0.1as110?110?1?sp??s300???1.5 ?p200? 35