3.1从算式到方程

3.1.2 等式的性质

情景导入 悬念激趣

情景导入 同学们，你们还记得“曹冲称象”的故事吗？请同学们说说这个故事．

小时候的曹冲是多么地聪明啊！随着社会的进步，科学水平的发达，我们有越来越多的方法测量物体的质量．最常见的方法是用天平测量一个物体的质量．

现在认识一下天平，然后回答下列问题：

置疑导入

归纳导入

复习导入

类比导入

图3－1－7

天平有什么作用呢？要让天平平衡应该满足什么条件？ 如果天平在平衡的条件下，左盘放着质量为(3x＋4)的物体，右盘放着质量为5x的物体，你知道怎样列式吗？你能求出x是多少吗？

[说明与建议]说明：通过对天平的认识让学生感受等式可以类比天平，利用天平称物的图示可以形象直观地展现等式的性质，还可以直观地展现方程的求解过程，从而激发学生的求知欲．建议：充分发挥学生的主动性，注重训练学生的合作交流意识，通过解决问题，回顾已学过的知识，提醒学生注意与新知识的对比．

置疑导入 上节课我们将几个实际问题转化成了数学模型，即一元一次方程，但只列

出了方程，并没有求出方程的解．其实，在小学，我们利用逆运算能够去求形如ax＋b＝cx＋22x－3

的方程．比如：5x＝3x＋4.对于这样比较复杂的方程：＝＋1，怎么解呢？

46要想求出这些复杂的一元一次方程的解，我们必须研究等式的性质．

[说明与建议]说明：让学生感受到自己具有的知识已不能够解决问题，遇到了困难，从而激发学生的求知欲．建议：可让学生尝试解这个复杂的方程，让他们亲身体会此方程的复杂，然后小组讨论，看是否能够找到解决办法．

[命题角度1]等式的基本性质的应用

此种题型考查学生对等式的基本性质的理解，能否应用等式的基本性质对方程进行简单化简．

1

例把方程x＝1变形为x＝2，其依据是__等式的性质2__．

2

[命题角度2]利用等式的基本性质解方程

利用等式的基本性质可以把一个等式进行变形，变成ax＝b的形式，然后两边同时除以a即可．

1

例[湖州中考]方程2x－1＝0的解是x＝____．

2

P83练习

利用等式的性质解下列方程并检验： (1)x－5＝6；(2)0.3x＝45； (3)5x＋4＝0； (4)2－x＝3.

[答案] (1)x＝11；(2)x＝150； (3)x＝－0.8；(4)x＝－4. P83习题3.1 复习巩固

1．列等式表示：

(1)比a大5的数等于8； (2)b的三分之一等于9；

(3)x的2倍与10的和等于18； (4)x的三分之一减y的差等于6；

(5)比a的3倍大5的数等于a的4倍； (6)比b的一半小7的数等于a与b的和．

[答案] (1)a＋5＝8；(2)×b＝9；(3)2x＋10＝18；(4)－y＝6；(5)3a＋5＝4a；(6)－7＝a＋b.

2．列等式表示： (1)加法交换律； (2)乘法交换律； (3)分配律； (4)加法结合律．

[答案] (1)a＋b＝b＋a；(2)a×b＝b×a；(3)a(b＋c)＝ab＋ac；(4)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．

3．x＝3，x＝0，x＝－2，各是下列哪个方程的解？ (1)5x＋7＝7－2x；(2)6x－8＝8x－4； (3)3x－2＝4＋x.

解：把x＝－3，x＝0，x＝－2分别代入方程5x＋7＝7－2x，6x－8＝8x－4；3x－2＝4＋x的左边和右边，能使左边和右边相等的值便是方程的解：

x＝3是方程3x－2＝4＋x的解；

1413x3b2x＝0是方程5x＋7＝7－2x的解； x＝－2是方程6x－8＝8x－4的解．

4．用等式的性质解下列方程： (1)x－4＝29； (2)x＋2＝6；

(3)3x＋1＝4； (4)4x－2＝2.

[答案] (1)x＝33；(2)x＝8；(3)x＝1；(4)x＝1. 综合运用

列方程(第5～10题)：

5．某校七年级1班共有学生48人，其中女生人数比男生人数的多3人，这个班有男生多少人？

1245??解：设这个班有男生x人，则女生有?x＋3?人，根据题意，得x＋x＋3＝48.

?6．把1400元奖学金按照两种奖项奖给22名学生，其中一等奖每人200元，二等奖每人

50元，获得一等奖的学生有多少人？

解：设获得一等奖的学生有x人，200x＋50(22－x)＝1400.

7．今年上半年某镇居民人均可支配收入为5109元，比去年同期增长了8.3%，去年同期这项收入为多少元？

解：设去年同期这项收入为x元，x(1＋8.3%)＝5109.

8．一辆汽车已行驶了12 000 km，计划每月再行驶800 km，几个月后这辆汽车将行驶20 800 km?

解：设x个月后行驶20 800 km，12 000＋800x＝20 800.

4?545

9．圆环形状如图所示，它的面积是200 cm，外沿大圆的半径是10 cm，内沿小圆的半径是多少？

22

[答案]设内沿小圆半径是xcm，π×10－π×x＝200.

10．七年级1班全体学生为地震灾区共捐款428元，七年级2班每个学生捐款10元，七年级1班所捐款数比七年级2班少22元．两班学生人数相同，每班有多少学生？

解：设每班有x各学生，根据题意，得 10x＋(10x－22)＝428. 拓广探索

11．一个两位数个位上的数是1，十位上的数是x.把1与x对调，新两位数比原两位数小18，x应是哪个方程的解？你能想出x是几吗？

[答案] (10x＋1)－(10＋x)＝18，x＝3.

[当堂检测]

1.已知等式a=b，c为任意有理数，则下列等式中，不一定成立的是（ ） A．a-c=b-cB．a+c=b+cC．-ac=-bcD．

2

ba? cc2下列变形不正确的是（ ） A.由2x-3=5得：2x= 8 B.由- C.由2x =5得：x=

2x =2.得：x=-3 32 D.由 x+5 =3x-2得：7=2x 53．将等式：3x = 2x + 15的两边都_________，得到：x= 15,这是根据____________。 4.若关于x的方程：2(x- m)= 3x-1的解是x=3，则m的值是______ .

5.利用等式的性质解下列方程．（1）y+3=2； （2）9x=8x-6；（3）8m=4m+1． 参考答案： 1. D 2. C

3.减去 2x 等式的性质一 4. -1

5.（1）y = -1 (2)x = - 6 （3）m =

[能力培优]

专题一对等式性质的考查

1.下列变形符合等式基本性质的是（）

A．如果2x－y=7，那么y=7－2xB．如果ak=bk，那么a=b C．如果－2x=5，那么x=5+2D．如果?1 41a?1，那么a??3 32.下列结论中不能由a+b=0得到的是（ ）

222

A．a=－abB．|a|=|b|C．a=0，b=0D．a=b 3.若2a?b?2?b，则2a?2b?6?______．

a?b4.已知3a+2b=1,3a+2b-3c=16，求2c+10的值.

5.如图是一个数表，现用一个矩形在数表中任意框出4个数，那么： （1）求出a与c的关系是什么？ （2）当a+b+c+d=32时，求a的值.

6.a、b、c三个物体的重量如下图所示：

回答下列问题：（1）a、b、c三个物体就单个而言哪个最重？（2）若天平一边放一些物体a，另一边放一些物体c，要使天平平衡，天平两边至少应该分别放几个物体a和物体c？ 专题二对方程有关概念的考查

7.若（m－2）x+3=0是关于x的一元一次方程，则m.

8.若关于x的一元一次方程?k(x?1)?3?0的解是x?2，则k?. 9.如果关于x的方程（m+3）x－︱m︱+3=0的根为0，那么m的值为.

ab3x10.设a、b、c、d为有理数，现规定一种新的运算：=ad－bc,若=－7，求x的值.

cd2711．解方程：3x－3＝2x－3,小李同学是这样解得：

方程两边都加3得：3x＝2x, 方程两边都除以x得：3＝2， ∴此方程无解.

小李同学的解题过程是否正确？如果正确，指出每一步的理由；如果不正确，错在哪里，并改正.

知识要点：

1.含有未知数的等式叫方程.

2.只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.

3.解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解. 4.等式的性质：

等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.

等式性质2：等式两边乘以同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 温馨提示：

1.与方程有关的注意事项：

（1）方程有两个要素，一是含有未知数，二是方程是一个等式，二者缺一不可； （2）方程中的未知数可以是x，也可以是其它字母；

（3）方程中所含的未知数不一定是一个，含有两个或两个以上未知数的等式也叫做方程． 2.与等式性质有关的注意事项：

（1）等式性质1中的“同一个”是指等式两边所加（或减）的数（或式子）必须相同．也就是说若等式两边加（或减）的不是同一个数（或式子），则得到的式子就不是等式了． （2）等式性质2包括两种情况：一是等式两边乘以同一个数，结果仍然相等；二是等式两边同时除以一个不为0的数，结果仍相等．

3.形如ax+b=0（a≠0，a，b为常数）的方程叫做一元一次方程，这里的a≠0，a，b为常数缺一不可. 方法技巧：

1.已知一个代数式的值求另一个代数式的值时常常采用整体思想求解.

2.判断等式变形是否正确的方法是，找到由前一个等式如何得到后一个等式，看在变形过程中是否利用了等式的基本性质