第八章 平面解析几何
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是 ( ) |a||a|aA. B. C．|a| D．－ 422|a|解析：由已知焦点到准线的距离为p＝. 2答案：B
2．过点A(4，a)与B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则|AB|＝ ( )
A．6 B.2 C．2 D．不确定
2
b－a解析：由题知＝1，∴b－a＝1.
5－4
∴|AB|＝(5－4)＋(b－a)＝2. 答案：B
3．已知双曲线－＝1的离心率为e，抛物线x＝2py的焦点为(e,0)，则p的值为( )
412
11
A．2 B．1 C. D. 4161112
解析：依题意得e＝2，抛物线方程为y＝x，故＝2，得p＝.
2p8p16答案：D
1222
4．若直线ax＋2by－2＝0(a＞0，b＞0)始终平分圆x＋y－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小22x2y2
2
ab值为 ( ) A．1 B．5 C．42 D．3＋22 解析：由(x－2)＋(y－1)＝13，得圆心(2,1)， ∵直线平分圆的周长，即直线过圆心． ∴a＋b＝1.
1212b2a∴＋＝(＋)(a＋b)＝3＋＋≥3＋22，
2
2
ababab当且仅当＝b2a，即a＝2－1，b＝2－2时取等号， ab12
∴＋的最小值为3＋22.
ab答案：D
x22
5．若双曲线2－y＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为 ( )
a25323A. B. C. D．2
523解析：由a＋1＝4，∴a＝3， ∴e＝
2
23
＝. 33
2
答案：C
6．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是 ( )
A.－＝1 B.－＝1
916169C.－＝1(x＞3) D.－＝1(x＞4) 916169
解析：如图|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|， 所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x916＞3)． 答案：C
x2x2
y2y2
x2y2
x2y2
x2y2
x2y25e7．双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x(e为双曲线离心率)，则有( )
ab5
A．b＝2a B．b＝5a C．a＝2b D．a＝5b 解析：由已知＝∴＝2
ba5
e， 5
ba5c222
×，∴c＝5b，又a＋b＝c， 5a2
2
∴a＋b＝5b，∴a＝2b. 答案：C
8．抛物线y＝－4x上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 ( )
17151517A. B. C．－ D．－ 16161616
2
1
解析：准线方程为y＝，
16115
由定义知－yM＝1?yM＝－.
1616答案：C
uuuruuur9．已知点A、B是双曲线x－＝1上的两点，O为坐标原点，且满足OA·OB＝0，则点O到直
2
y2
2
线AB的距离等于 ( ) A.2 B.3 C．2 D．22
uuuruuur解析：本题是关于圆锥曲线中的点到线的距离问题，由OA·OB＝0?OA⊥OB，由于双曲线为
中心对称图形，为此可考查特殊情况，令点A为直线y＝x与双曲线在第一象限的交点，因此点
B为直线y＝－x与双曲线在第四象限的一个交点，因此直线AB与x轴垂直，点O到AB的距离y??x2－＝12就为点A或点B的横坐标的值，由???y＝x答案：A
10．(2020·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)＋y＝r(r>0)相切，则r＝( )
63
A.3 B．2 C．3 D．6 解析：双曲线的渐近线方程为y＝±＝3. 答案：A
12
2
?x＝2.
x2y2
222
x即x±2y＝0，圆心(3,0)到直线的距离d＝
|3|(2)＋1
2
x2y2
11．(2020·四川高考)已知双曲线－2＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程
2buuuruuur为y＝x，点P(3，y0)在该双曲线上，则PF1·PF2＝ ( )
A．－12 B．－2 C．0 D．4 解析：由渐近线方程y＝x得b＝2，
x2y2
点P(3，y0)代入－2＝1中得y0＝±1.
2b不妨设P(3，1)，∵F1(2,0)，F2(－2,0)，
uuuruuur∴PF1·PF2＝(2－3，－1)·(－2－3，－1)
＝3－4＋1＝0. 答案：C
12．(2020·天津高考)设抛物线y＝2x的焦点为F，过点M(3，0)的直线与抛物线相交于A、B两
2
点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比
S△BCF＝ S△ACF( )
4241A. B. C. D. 5372
解析：如图过A、B作准线l：x=-由于F到直线AB的距离为定值． ∴
1的垂线，垂足分别为A1，B1， 2S△BCF|BC|
＝. S△ACF|CA|
又∵△B1BC∽△A1AC. |BC||BB1|∴＝， |CA||AA1|
|BB1||BF|2
由拋物线定义＝＝. |AA1||AF||AF|3
由|BF|＝|BB1|＝2知xB＝，yB＝－3，
2∴AB：y－0＝
333－2
(x－3)．
把x＝代入上式，求得yA＝2，xA＝2，
25
∴|AF|＝|AA1|＝.
2故
y2
S△BCF|BF|24
＝＝＝. S△ACF|AF|55
2
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)
13．已知点(x0，y0)在直线ax＋by＝0(a，b为常数)上，则(x0－a)＋(y0－b)的最小值为________．
解析：(x0－a)＋(y0－b)可看作点(x0，y0)与点(a，b)的距离．而点(x0，y0)在直线ax＋by＝0上，所以(x0－a)＋(y0－b)的最小值为点(a，b)到直线ax＋by＝0的距离
22222
2
|a·a＋b·b|
a2＋b2
＝
a2＋b2.
答案：a＋b
2
2
14．(2020·福建高考)过抛物线y＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝________. 2p2p解析：由焦点弦|AB|＝2得|AB|＝2，
sinαsin45°1
∴2p＝|AB|×，∴p＝2.
2答案：2
15．直线l的方程为y＝x＋3，在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x－4y＝3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为______________．
解析：所求椭圆的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0),2a＝|PF1|＋|PF2|.欲使2a最小，只需在直线l上找一点P，使|PF1|＋|PF2|最小，利用对称性可解． 答案：＋＝1
54
16．过抛物线y＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线准线的交
2
2
2
2
x2y2
ruuuruuuruuuruuu点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若AF＝FB，BA·BC＝48，则抛物线的方程
为______________．
解析：设抛物线的准线与x轴的交点为D，依题意，F为线段AB的中点， 故|AF|＝|AC|＝2|FD|＝2p， |AB|＝2|AF|＝2|AC|＝4p，
uuur∴∠ABC＝30°，|BC|＝23p，
ruuuruuuBA·BC＝4p·23p·cos30°＝48，
解得p＝2，
∴抛物线的方程为y＝4x. 答案：y＝4x
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知：圆C：x＋y－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程．
解：将圆C的方程x＋y－8y＋12＝0配方得标准方程为x＋(y－4)＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.
|4＋2a|(1)若直线l与圆C相切，则有2＝2.
a＋13
解得a＝－. 4
(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，
2
2
2
2
2
2
2
2