1.如图，某新建小区有一片边长为1(单位 百米)的正方形剩余地块ABCD，中间部分MN

221

≤x≤?的图象，另外的边缘是平行是一片池塘，池塘的边缘曲线段MN为函数y＝?3?9x?3于正方形两边的直线段．为了美化该地块，计划修一条穿越该地块的直路l(宽度不计)，直路l与曲线段MN相切(切点记为P)，并把该地块分为两部分．记点P到边AD距离为t，f(t)表示该地块在直路l左下部分的面积． (1) 求f(t)的解析式； (2) 求面积S＝f(t)的最大值．

?

?4>1，③当?9t

12?≤t≤?33，2t≤1，

141

即≤t<时，切线左下方的区域为一直角梯形，所以f (t)＝392

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9142t－t2，≤t<，

439

??441

9?4t－9t＋2t?·，≤t≤，2?2?1＝2t－4t，综上所求函数f (t)的解析式f (t)＝?99

4t－112?，

2

2

4t－1149944412

(2)由(1)得，当≤t＜时，f (t)＝2t－t2＝－(t－)2＋＜，当

－2＋<，所以所求面积S的最大值为Smax＝. －??999?t9

2.如图1所示，某地打算在一块长方形地块上修建一个植物园(ABCDEF围成的封闭区域)，其中AB长12百米，BC长4百米，CD＝8.5百米，AF长0.5百米，DEF是一段曲线形公路．该植物园的核心区为等腰直角三角形MPQ所示区域，且MP＝ PQ，植物园大门位于公路DEF上的M处，音乐广场P位于AB的中点处，为了能够让游客更好地观赏园中的景观，现决定修建一条观光栈道，起点位于距离音乐广场P处2百米的O点所示位置，终点位于美食广场Q处．如图2所示，建立平面直角坐标系，若M(x，f(x))满足

[ ]2

k1??x， －2

??ax＋b， －4≤x≤－2.

(1)求f(x)的解析式；

(2)求观光栈道OQ的长度的最小值．

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22

－?≥2＋2所以OQ＝2－x－＝2＋(－x)＋??x?x2

x＝－即x＝－2时等号成立．

x

2－?＝2＋22(百米)，?－x??当且仅当－?x?1317

x，x＋?，则Q?x＋，2－x?， 若－4≤x≤－2，设M??42??42?

[ ]OQ＝＝

?1x＋7?＋?2－x?2

?42?

172965x－x＋， 1644

17965

?－2?2－?－2?＋＝5，又1644

212749x＋x＋＋4－4x＋x2＝1644

17965

y＝x2－x＋在[－4，－2]上单调递减，所以OQ≥1644

因为2＋22<5，所以OQ的长度的最小值为2＋22百米．

3.某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售Q(万件)与广告费x(万4x＋1元)之间的函数关系为Q＝(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为4.5万元，每生

x＋1产1万件此产品仍需再投入32万元，且能全部销售完．若每件销售价定为 “平均每件生产成本的150 ”与“年平均每件所占广告费的25 ”之和． (1)试将年利润W(万元)表示为年广告费x(万元)的函数；

(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？

解析 (1) 由题意可得，产品的生产成本为(32Q＋4.5)万元， 32Q＋4.5x

每件销售价为×150 ＋×25 .

QQ

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