因为an?1?an?2，所以数列是公差为2的等差数列，所以an?2n?1。又

1111?(?)anan?12anan?1Sn?，所以

11111111111118(????L??)?(?)?(1?)?，解得2a1a2a2a3anan?12a1an?122n?137n?18。

14．（2013届北京大兴区一模文科）已知函数f(x)是定义在(0,+?)上的单调递增函数,且

x?N*时,f(x)?N*,若f[f(n)]=3n,则f(2)=________;f(4)+f(5)=_________

3,15

因为f[f(1)]?3?f(3)，所以f(1)?3，若f(1)?1，则与f[f(1)]?3矛盾。若f(1)?3，则

f[f(1)]?f(3)?3，所以f(1)?f(3)矛盾。所以必有f(1)?2，

因为函数f(x)单f(2)?f[f(1)]?f(2)?3。f(3)?f[f(2)]?6，f(6)?f[f(3)]?9，调递增，所以必有f(4)?7,f(5)?8，即f(4)?f(5)?7?8?15。

15．（2013届北京西城区一模文科）已知数列{an}的各项均为正整数,其前n项和为Sn.若

?an?, an是偶数,且S3?29,则a1?______;S3n?______. an?1??2??3an?1, an是奇数,5，7n?22

若a1是奇数，则a2?3a1?1为偶数，所以，a3?a23a1?1，因为S3?29，所以?22S3?a1?a2?a3?a1?3a1?1?若a1是偶数，则a2?3a1?1?29，解得a1?5。 2a1aa，若a2是偶数，所以a3?2?1，所以224aa29?4不是偶数，所以不成立。 S3?a1?a2?a3?a1?1?1?29，即a1?247a56若a2是奇数，所以a3?3a1?1，所以S3?a1?a2?a3?a1?1?3a1?1?29，即a1?29不是偶数，所以不成立。

因为a1?5，所以a2=16，a3=8，a4=4，a5=2，a6=1，a7=3a1+1=4，a8=2，a9=1。

5

所

以S3n?5?16?8?(4?2?1)(n?1)?7n?22。

16．（2013届北京市石景山区一模数学文）观察下列算式：

3

l=1, 3

2 =3+5, 3

3 = 7+9+11, 3

4=13 +15 +17 +19 ，

… … … …

3

若某数n按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则n= ． 45

由题意可得第n行的左边是n3，右边是n个连续奇数的和，设第n行的第一个数为an，则有a2?a1?3?1?2，a3?a2?7?3?4，a4?a3?13?7?6，…

an?an?1?2(n?1)，以上 n?1个式子相加可得an?a1?(n?1)[2?2(n?1)]?n(n?1)，

22所以an?n?n?1，可得a45?1981,a46?2071。故可知2013在第45行。

17．（2013届北京东城区一模数学文科）设A是由n个有序实数构成的一个数组,记

作:A?(a1,a2,L,ai,L,an).其中ai (i?1,2,L,n)称为数组A的“元”,i称为ai的下标. 如果数组S中的每个“元”都是来自 数组A中不同下标的“元”,则称S为A的子数组. 定义两个数组A?(a1,a2,L,an),B?(b1,b2,L,bn)的关系数为

C(A,B)?a1b1?a2b2?L?anbn.

(Ⅰ)若A?(?,),B?(?1,1,2,3),设S是B的含有两个“元”的子数组,求C(A,S)的最大值; (Ⅱ)若A?(1122333,,),B?(0,a,b,c),且a2?b2?c2?1,S为B的含有三个“元”333的子数组,求C(A,S)的最大值.

解:(Ⅰ)依据题意,当S?(?1,3)时,C(A,S)取得最大值为2.

(Ⅱ)①当0是S中的“元”时,由于A的三个“元”都相等,及B中a,b,c三个“元”

的对称性,可以只计算C(A,S)?

3(a?b)的最大值,其中a2?b2?c2?1. 36

由

(a?b)2?a2?b2?2ab?2(a2?b2)?2(a2?b2?c2)?2,

得 ?2?a?b?2. 2时,a?b达到最大值2, 2当且仅当c?0,且a?b?于是C(A,S)?36(a?b)?. 333(a?b?c)的最大值, 3②当0不是S中的“元”时,计算C(A,S)?由于a2?b2?c2?1,

所以(a?b?c)?a?b?c?2ab?2ac?2bc.

2222?3(a2?b2?c2)?3,

当且仅当a?b?c时,等号成立. 即当a?b?c?33(a?b?c)?1. 时,a?b?c取得最大值3,此时C(A,S)?33综上所述,C(A,S)的最大值为1.

18．（2013届北京丰台区一模文科）设满足以下两个条件的有穷数列a1,a2,???,an为

n(n=2,3,4,,)阶“期待数列”: ① ②

a1?a2?a3?L?an?0;

a1?a2?a3?L?an?1.

(Ⅰ)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”; (Ⅱ)若某2013阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式; (Ⅲ)记n阶“期待数列”的前k项和为Sk(k?1,2,3,L,n),试证:Sk?1. 211?,0,解:(Ⅰ)数列为三阶期待数列 223113数列?,?,,为四阶期待数列, (其它答案酌情给分)

8888

7

(Ⅱ)设该2013阶“期待数列”的公差为d, 因为a1?a2即a1007?a3?L?a2013?0,?2013(a1?a2013)?0,?a1?a2013?0,

2

?0, ?a1008?d,

当d=0时,与期待数列的条件①②矛盾,当d>0时,据期待数列的条件①②可得a1008?a1009?L?a2013?1, 2?1006d?1006?100511, d?,即d?221006?1007数

列

的

通

项

公

式

为

?该

an?a1007?(n?1007)d?当d<0时,同理可得an?n?1007.?n?N*且n?2013?,

1006?1007?n?1007.?n?N*且n?2013?

1006?1007(Ⅲ)当k=n时,显然

Sn?0?1成立; 2当k

Sk?a1?a2?L?ak??(ak?1?ak?2?????an),

即Sk?a1?a2???ak?ak?1?ak?2???an,

?2Sk?a1?a2?L?ak?ak?1?ak?2?L?an?a1?a2?L?ak?ak?1?ak?2?L?an?1,

1Sk?(k?1,2,3,L,n).2

19．（2013届北京门头沟区一模文科数学）已知数列{an}的前n项和为Sn,a1?1,满足下

列条件

x2?x①?n?N,an?0;②点Pn(an,Sn)在函数f(x)?的图象上;

2*(I)求数列{an}的通项an及前n项和Sn; (II)求证:0?|Pn?1Pn?2|?|PnPn?1|?1.

8