所以 d(A,B)?2[b1?b2?L?bm?(a1?a2?L?am)]
?2[(13?m)?m]?26.
即 d(A,B)?26 对于
A?(1,1,L,1,14),B?(14,1,1,L,1),有 A,B?S20,且
d(I,A)?d(I,B)?13,d(A,B)?26.
综上,d(A,B)的最大值为26
解法二:首先证明如下引理:设x,y?R,则有|x?y|?|x|?|y|. 证明:因为 ?|x|?x?|x|,?|y|?y?|y|, 所以 ?(|x|?|y|)?x?y?|x|?|y|,
即 |x?y|?|x|?|y|.
所以 d(A,B)?20?|b?a|??|(b?1)?(1?a)|
iiiii?1i?12020??(|bi?1|?|1?ai|)
i?120??|ai?1|??|bi?1|?26
i?1i?120上式等号成立的条件为ai?1,或bi?1,所以 d(A,B)?26 对于
A?(1,1,L,1,14),B?(14,1,1,L,1),有 A,B?S20,且
d(I,A)?d(I,B)?13,d(A,B)?26.
综上,d(A,B)的最大值为26
22．（2013届房山区一模文科数学）对于实数x,将满足“0?y?1且x?y为整数”的实
数y称为实数x的小数部分,用记号x表示.例如1.2?0.2,?1.2?0.8,81?.77 13
?1?对于实数a,无穷数列?an?满足如下条件:a1?a,an?1??an??0n?1,2,3,L.
an?0,an?0, 其中
3,求数列?an?的通项公式; 111(Ⅱ)当a?时,对任意的n?N*,都有an?a,求符合要求的实数a构成的集合A;
2p(Ⅲ)设a? (p是正整数,p与2013互质),对于大于2013的任意正整数n,是否
2013(Ⅰ)若a?都有an?0成立,证明你的结论. (Ⅰ)a1?111213133?? ,a3??? ? ,a2?a133a22211111?2?0, a3a4?321,a2?,a3?,an?0(n?4) 1132111(Ⅱ)Qa1?a?a ,a? 则?a?1 ,从而1??2
22a所以 a1?则 a2?111???1?a 所以a2?a?1?0 a1aa?1?5?1??1?5??,1?,舍去) , (a?22?2?52解得:a???1?所以集合 Aa??(Ⅲ)结论成立
?
易知a是有理数,所以对一切正整数n,an为0或正有理数, an?pnqn设(
pn是非负整数,
qn是正整数,且pn,qn互质)
a1?由若
pp?12013q1,可得0?p1?2013;
pn?00???pn?,?,设qn??pn??(,是非负整数)
qnpq?1???an?n?npqn得anpn pn ,而由则n
14
an?1?q1??n?anpnpn则
,故
pn?1??qn?1?pn,
,可得
0?pn?1?pn
若若
pn?0pn?1?0, 均不为0,则这2013个正整数
a1,a2,a3,???,a2013pn(n?1,2,3,L,2013)互不相同
且都小于2013,但小于2013的正整数共有2012个,矛盾. 故
a1,a2,a3,???,a2013中至少有一个为0,即存在m(1?m?2013),使得
am?0.
从而数列
?an?中am以及它之后的项均为0,
an?0
所以对于大于2013的自然数n,都有
23．（2013届北京市石景山区一模数学文）（本小题满分13分）
给定有限单调递增数列{xn}(n?N,n?2)且xi?0(1?i?n)，定义集合
?A?{(xi,xj)1?i,j?n,且i,j?N?}.若对任意点A1?A，存在点A2?A使得OA1?OA2（O为坐标原点），则称数列{xn}具有性质P.
（Ⅰ）判断数列{xn}：?2,2和数列{yn}：?2,?1,1,3是否具有性质P，简述理由. （Ⅱ）若数列{xn}具有性质P，求证：
①数列{xn}中一定存在两项xi,xj使得xi?xj?0； ②若x1??1，x2?0且xn?1，则x2?1.
解：（Ⅰ）数列{xn}具有性质P，数列{yn}不具有性质P.
对于数列{xn}，若A1(?2,2)则A2(2,2)；若A1(?2,?2)则A2(2,?2)；所以具有性质P.对于数列{yn}，当A1(?2,3)若存在A2(x,y)满足OA1?OA2,即?2x?3y?0,即数列{yn}中不存在这样的数x,y，因此不具有性质P. ………………4分
（Ⅱ）①取A1(xk,xk)，又数列{xn}具有性质P，所以存在点A2(xi,xj)使得
y2?，x3OA1?OA2，即xkxi?xkxj?0，又xk?0，所以xi?xj?0. ………………6分
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②由①知，数列{xn}中一定存在两项xi,xj使得xi?xj?0；又数列{xn}是单调递增数列且x2?0，所以1为数列{xn}中的一项.
假设x2?1，则存在k(2?k?n,k?N)有xk?1，所以0?x2?1
此时取A1(x2,xn)，数列{xn}具有性质P，所以存在点A2(xt,xs)使得OA1?OA2，?所以x2xt?xnxs?0；只有x1?0，所以当xt??1时x2?xnxs?xs?x2，矛盾； 当xxs??1时xn2?x?1，矛盾.所以x2?1. …………13分t
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