技法篇：4大思想提前看，渗透整本提时效
高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合；二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录与描述，那么数学思想方法则是数学意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想．这些在一轮复习中都有所涉及，建议二轮复习前应先学习此部分．带着方法去复习，这样可以使理论指导实践，“一法一练”“一练一过”，既节省了复习时间又能起到事半功倍的效果，而市面上有些辅导书把方法集中放于最后，起不到”依法训练”的作用，也因时间紧造成学而不透、学而不深，在真正的高考中不能从容应对．不过也可根据自身情况选择学完后再复习此部分．
思想1 函数与方程思想
函数的思想，就是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想.
方程的思想，就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想.
【例1】 (1)设函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R都有f(x)＞f′(x)成立，则( )
A．3f(ln 2)＜2f(ln 3) B．3f(ln 2)＝2f(ln 3) C．3f(ln 2)＞2f(ln 3)
D．3f(ln 2)与2f(ln 3)的大小不确定
(2)(名师押题)直线y＝kx＋2和椭圆＋＝1在y轴左侧部分交于A，B两点，直线l过点
43
【导学号：68334003】
x2y2
P(0，－2)和线段AB的中点M，则l在x轴上的截距a的取值范围为________．
(1)C (2)?－
??fxf6?
，则F′(x)＝，0? [(1)令F(x)＝xe3?
x－fxe
x.
因为对?x∈R都有f(x)＞f′(x)，所以F′(x)＜0， 即F(x)在R上单调递减．
又ln 2＜ln 3，所以F(ln 2)＞F(ln 3)， 即
fe
ln 2
＞fe
ln 3
，
，即3f(ln 2)＞2f(ln 3)，故选C.
所以
f2
＞
f3
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直线l与x轴的交点为N(a,0)．
y＝kx＋2，??22
由?xy＋＝1，??43
2
得(3＋4k)x＋16kx＋4＝0.
22
因为直线y＝kx＋2和椭圆＋＝1在y轴左侧部分交于A，B两点，所以
43
x2y2
?16k?x＋x＝－3＋＜0，
4k?
4
xx＝??3＋4k＞0，
1
2
2
12
2
Δ＝k－＋4k2
＞0，
1 解得k＞.
2
又M为线段AB的中点，所以
x＋x－8kx＝＝，??23＋4k?y＋y6??y＝2＝3＋4k.
1
2
0
2
1
2
0
2
由P(0，－2)，M(x0，y0)，N(a,0)三点共线， 6
2＋23＋4k0－－
所以＝－8ka－0
2
3＋4k43
所以－＝2k＋.
，
ak13646
又因为k＞，所以2k＋≥26，当且仅当k＝时等号成立，所以－≥26，则－≤a≤0.]
2k2a3[方法指津]
函数与方程思想在解题中的应用
1．函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y＞0时，就化为不等式f(x)＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．
2．数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要． 3．解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数有关理论．
4．立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．
π??[变式训练1] 将函数y＝sin?4x－?的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关3??于y轴对称，则m的最小值为________. 【导学号：68334004】
π?5π? [把y＝sin?4x－?的图象上所有的点向左平移m个单位长度后，得到y＝
3?24?sin?
?
?
??x＋m－?＝sin?4x＋4m－?的图象， ?33
?
?
?
ππ
ππ
而此图象关于y轴对称，则4m－＝kπ＋(k∈Z)，
3215π5π
解得m＝kπ＋(k∈Z)．又m＞0，所以m的最小值为.] 42424
思想2 数形结合思想
数形结合思想，就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.其应用包括以下两个方面：
以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，
揭示数学问题的本质，如应用函数的图象来直观地说明函数的性质.
以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确，如应用曲线的方程来精确地阐明
曲线的几何性质.
??|x|，x≤m，
【例2】 已知函数f(x)＝?2
?x－2mx＋4m，x>m，?
其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程
f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
(3，＋∞) [作出f(x)的图象如图所示．当x>m时，x－2mx＋4m＝(x－m)＋4m－m，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则4m－m
2
2
2
2
2
[方法指津]
数形结合思想在解题中的应用
1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式． 2．构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的范围． 3．构建解析几何模型求最值或范围．
4．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．
[变式训练2] (1)(2017·绍兴一中高考考前适应性考试)已知方程|ln x|＝kx＋1在(0，e)上有三个不等的实根，则实数k的取值范围是( )
【导学号：68334005】
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