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《余弦定理》

◆ 教材分析 本节内容通过利用向量的数量积推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决

“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会用余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学、应用数学的潜能。

◆ 教学目标 【知识与能力目标】

掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 【过程与方法目标】

利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 【情感态度价值观目标】

培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

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◆ 教学重难点 【教学重点】

余弦定理的发现和证明过程及其基本应用。 【教学难点】

勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 ◆ ◆ 课前准备 ◆ 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 一、导入部分

C

如图1．1-4，在?ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,

已知a,b和?C，求边c b a

A c B

(图1．1-4)

二、研探新知，建构概念

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 如图在?ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b ∵AC?AB?BC

∴AC?AC?(AB?BC)?(AB?BC)

◆ 教学过程 CbA?2acB?AB?2AB?BC?BC

?AB?2|AB|?|BC|cos(180?B)?BC ?c2?2accosB?a2

222即b?c?a?2accosB

222222222同理可证 a?b?c?2bccosA c?a?b?2abcosC

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余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹

a2?b2?c2?2bccosA 角的余弦的积的两倍。即 b2?c2?a2?2accosB c2?a2?b2?2abcosC

问题：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？

（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为： ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

（由学生总结）若?ABC中，C=900，则cosC?0，这时c2?a2?b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 三、质疑答辩，发展思维

例1 如图4所示，有两条直线AB和CD相交成80°角，交点是O.甲、乙两人同时从点O分别沿OA，OC方向出发，速度分别是4 km/h,4.5 km/h.3时后两人相距多远(结果精确到0.1 km)？

图4

活动：经过3时，甲到达点P，OP＝4×3＝12(km)，乙到达点Q，OQ＝4.5×3＝13.5(km) 问题转化为在△OPQ中，已知OP＝12 km，OQ＝13.5 km，∠POQ＝80°，求PQ的长。

解：经过3时后，甲到达点P，OP＝4×3＝12(km)，乙到达点Q，OQ＝4.5×3＝13.5(km)． 依余弦定理，知

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b2?c2?a2cosA?2bcc2?a2?b2cosB?2ca a2?b2?c2cosC? 2ab