“用二分法求方程的近似解”教学设计与反思
郭豫 北京 市第八十 中学
【教学准备】 1、数学分析
二分法是《普通高中数学课程标准（实验）》新增的内容之一。增加这部分内容的主要目的，一是加强函数与方程的联系，突出函数的应用，用函数的观点看待某些方程，通过研究函数的某些性质，把函数的零点与方程的解等同起来；二是“用二分法求方程的近似解”，这部分内容较好体现了算法的思想，可以为后面学习算法内容做必要的准备。教材安排遵循上述两个主要目的，二分法首次出现在《数学 1 》中，然后在《数学 3 》中作为算法的具体素材。
就中学数学课程的内容而言，学生主要学习一元一次方程、一元二次方程以及二元一次方程组、三元一次方程组的解法，或可化为上述方程（组）的其他方程，如分式方程、无理方程的解法。对于一元一次方程，我们可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项等程序化的步骤，把它转化为 的形式。对一些特殊形式的一元二次方程，有一些特殊的解法，如提取公因式法、十字相乘法。但对一般的一元二次方程
有通法——公式法，它可以给出任意
一元二次方程的一般解，这个一般解就是方程的精确解。
然而，在自然科学、工程技术、经济、医学以及其他领域中产生的许多实际问题中的方程，既不可能，也不现实求其一般解。实际上，考虑实际问题的需要，也没必要求其精确解。这时，寻求方程近似解的数值方法应运而生。确切地说，一个数值方法是对给定问题的输入数据和所需要的结果之间关系的一种明确的描述。数值计算方法也称计算方法或者数值分析，它是研究运用计算机或计算器解数学问题的数值方法或相关理论。为了使数值方法在计算机上得到实现，我们需要给出数值方法的一般算法。它是算法和逻辑运算的完整描述，按一定程序执行这些运算，经过有限步，把输入数据的每一个容许集转化成输出数据。 作为算法体系中求方程近似解的一种重要的方法，二分法是解非线性方程
的一种直观而又简单的算法，学生非常容易理解。实际上，求方程近似
解的方法很多，不动点法、牛顿法（切线法）、割线法等等，它们都是解决一类问题的算法。
二分法本质上说是一种区间迭代的数值算法。它的前提是：
如果函数 在区间 ，那么函数
上的图象是一条连续不断的曲线，且
在 的根。
内至少有一个零点，即至少存在一
点 ，使得 就是方程
具体计算步骤是，不断缩小区间的长度，使区间中点逐步逼近根的精确值。周而复始，不断二分以缩小区间的长度。理论上这一过程可以无限进行下去，如同古代《墨经》所说的“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”但实际上，只需要满足某种精度要求的近似解，进行有限步便可终止。
由于这种方法直观而又简单，学生对它的理解不会有任何问题，但在教学中需要注意的问题依然不少。
本节课是在“方程的根与函数的零点”之后“用二分法求解方程近似解”的起始课。前面一节中，学生已经掌握了零点存在定理。并在此基础之上得知函数
在区间（ 2 ， 3 ）内有零点。本节课要解决的问题是如何
找出这个零点。具体对策是如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们便可以得到零点的近似值。而这种逐步缩小零点范围的具体方法就是二分法。 2 、基本定位和重点分析
（ 1 ）通过具体实例理解二分法的概念及适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数思想在方程求解问题中的应用 .
（ 2 ）让学生能够初步了解无限逼近思想 , 理解二分法求方程近似解的算法原理，为后面算法的学习做好铺垫 .
（ 3 ）鼓励学生大胆探索，激发学生学习数学的兴趣，培养学生探寻和欣赏数学美，形成正确的数学观；体会数学中无限逼近的过程，感受精确与近似的相对统一．
教学重点：通过用二分法求相应方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根之间的联系，形成用函数观点处理问题的意识． 教学难点：
（ 1 ）二分法的算法原理； （ 2 ）精确度的问题。
3 、学情分析：本节课的授课对象是我校高一（ 3 ）班，该班是我校的理科实验班，学生知识基础相对较好，有一定的研究能力 . 但对于二分法，学生的认知困难主要有两个方面 :
（ 1 ）对二分法的理论依据，即二分法定义的理解。
（ 2 ）对无限逼近思想的理解。在教学方式上可以采取循序渐进的原则，从生活中学生感兴趣的问题—猜价格入手，让学生体会怎样把零点所在的大致区间分成两部分，随着逐步将区间以一分为二缩小零点所在的范围。并借助大屏幕演示几何图形缩小零点范围的具体过程，让学生从直观上感觉零点被无限逼近。
【教学设计】 教学流程图：
（一）创设情景，导出课题
组织学生做游戏“猜一猜某物品的价格”。
师：我手里有一盒茶叶，现在我告诉同学它的价格大致在 50 到 100 元之间，下面请同学猜一猜它的价格。好的，谁先来猜一猜？ （学生很感兴趣，积极踊跃地参与竞猜价格的活动） 生（甲）： 70 元。
师：这个价格低了，谁来继续猜？ 生（乙）： 75 元。