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第5讲 数列的通项与求和

【目标分解一】求数列通项常用的四种方法 学习目标 重点 【目标分解二】掌握等差(比)数列求和公式及方法、裂项相消求和. 【目标分解三】掌握数列分组求和、错位相减求和的方法. 裂项相消求和、错位相减求和 【课前自主复习区】 ■核心知识储备 1．数列{an}中，an与Sn的关系： ?S1 n＝??an＝??Sn－Sn－1n， 提醒：在利用an＝Sn－Sn－求通项公式时，务必验证n＝1时的情形 2．递推公式求通项常用的方法和技巧 (1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法． ??S1，n＝1，(2)已知Sn与an的关系，利用an＝??Sn－Sn－1，n≥2，? 求an. (3)累加法 an＋1＝an＋f(n)，把原递推公式转化为an＋1－an＝f(n)． an＋1(4)累乘法an＋1＝f(n)an，把原递推公式转化为an＝f(n)． (5)构造法an＋1＝qan＋p(其中p，q均为常数，pq(q－1)≠0)，把原递推公式转化为an＋1－t＝q(an－t)， 其中t＝p，再利用构造法转化为等比数列求解． 1?q3．数列求和常用的方法 (1)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cn＝an＋bn形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列． (2)裂项相消法：将数列的通项分成两个代数式子的差，即an＝f(n＋1)－f(n)的形式，然后通过累加抵消?c??中间若干项的求和方法．形如??anan＋1?(其中{an}是各项均不为0的等差数列，c为常数)的数列等． (3)错位相减法：形如{an·bn}(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)的数列求和，一般分三步：①巧拆分；②构差式；③求和． (4)倒序求和法：距首尾两端等距离的两项和相等，可以用此法，一般步骤：①求通项公式；②定和值；③倒序相加；④求和；⑤回顾反思． 易错提醒 (1)公比为字母的等比数列求和时，需注意分类讨论． (2)错位相减法求和时，易漏掉减数式的最后一项. 精品K12教育教学资料

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(3)在裂项变形时，务必注意裂项前的系数. [高考真题回访] 1.an与an＋1的关系 1 (2014·全国卷Ⅱ)数列{an}满足an＋1＝1－an，a8＝2，则a1＝________. 2．数列求和 (2012·全国卷)数列{an}满足an＋1＋(－1)an＝2n－1，则{an}的前60项和为( ) A．3 690 B．3 660 C．1 845 D．1 830 3.(2013·全国卷Ⅰ改编)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.则 ??1?(1){an}的通项公式为__________；(2)数列?a2n－1a2n＋1??的前n项和为__________． n 4．(2014·全国卷Ⅰ改编)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x－5x＋6＝0的根，则 ?an?n?(1){an}的通项公式为__________；(2)数列??2?的前n项和为__________． 2 【课堂互动探究区】 【目标分解一】由递推关系求an ,Sn 【例1】 (考查已知an与Sn的递推关系求Sn)已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2.若首项a1＝2，则数列{an}的前n项和Sn＝________. 2an【例2】(考查已知an与Sn的递推关系求an)数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且满足anSn－S2＝n1(n≥2)．求数列{an}的通项公式． 11【我会做】1．已知数列{an}满足an＋1＝1－an，若a1＝2，则a2 018＝( ) 1A．－1 B．2 C．1 D．2 2．已知数列{an}前n项和为Sn，若Sn＝2an－2n ，则Sn＝__________. 精品K12教育教学资料

精品K12教育教学资料 【我能做对】 1.(2017·郑州模拟)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N，则a1＝________，S5＝________. 【目标分解二】裂项相消法求和 【例3】(本小题满分12分)(2015·全国Ⅰ卷)Sn为数列{an}的前n项和．已知an＞0，an＋2an＝4Sn＋3. 12①*(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝anan＋1，②求数列{bn}的前n项和. 裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成an＝bn＋k－bnk≥1，k∈N*的形式，常见的裂项方式有： 提醒：在裂项变形时，务必注意裂项前的系数. 【我能做对】 1*(2017·郑州第三次质量预测)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－2，且满足Sn＝2an＋1＋n＋1(n∈N)． ?1?3??(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝log3(－an＋1)，设数列?bnbn＋2?的前n项和为Tn，求证：Tn＜4. 精品K12教育教学资料

精品K12教育教学资料 【目标分解三】错位相减求和 【例4】设数列{an}满足a1＋3a2＋3a3＋…＋32n－1an＝3，n∈N*. nn(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an，求数列{bn}的前n项和Sn. 用错位相减法求和时，应注意： 要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形. 在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式. 应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况进行讨论，这在以前的高考中经常考查. 【我会做】 1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞0，S2＝2a2－2，S3＝a4－2. n(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an，求{bn}的前n项和Tn. 精品K12教育教学资料

精品K12教育教学资料 ★2.设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100. an(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)当d＞1时，记cn＝bn，求数列{cn}的前n项和Tn. 【我能做对】 ★★已知在公比大于1的等比数列{an}中，a2，a4是函数f(x)＝(x－2)(x－8)的两个零点． (1)求数列{an }的通项公式；(2)求数列{2nan}的前n项和Sn. 【课后作业】：专题限时集训(二) 1.已知等比数列{an}中，a2·a8＝4a5，等差数列{bn}中，b4＋b6＝a5，则数列{bn}的前9项和S9等于( ) A．9 B．18 C．36 D．72 精品K12教育教学资料