1 第七节指数与指数函数
[知识能否忆起]
一、根式 1．根式的概念
根式的概念 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数 2．两个重要公式
a， n为奇数，
?n?(1)a＝??a?a≥0?，
? n为偶数；?－a?a＜0?，?|a|＝?
n符号表示 na 备注 n＞1且n∈N* 零的n次方根是零 n±a(a>0) 负数没有偶次方根
nn(2)(a)n＝a(注意a必须使a有意义)． 二、有理数指数幂 1．幂的有关概念
mn(1)正分数指数幂：a＝am(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
nm11
(2)负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
nmnaamn(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 2．有理数指数幂的性质 (1)aras＝ars(a>0，r，s∈Q)；
＋
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 三、指数函数的图象和性质
函数 0 1 1．(教材习题改编)化简[(－2)6]－(－1)0的结果为( ) 2A．－9 B．7 C．－10 D．9 单调性 减函数 当x>0时，y>1 当x<0时，y>1；当x>0时，0 解析：选B 原式＝(26)－1＝7. 2 2．(教材习题改编)函数f(x)＝1－2x的定义域是( ) A．(－∞，0] C．(－∞，0) B．[0，＋∞) D．(－∞，＋∞) 解析：选A ∵1－2x≥0，∴2x≤1，∴x≤0. 3．已知函数f(x)＝4＋axA．(1,5) C．(0,4) －1 的图象恒过定点P，则点P的坐标是( ) B．(1,4) D．(4,0) 解析：选A 当x＝1时，f(x)＝5. 4．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则实数a的值为________． 解析：∵a2－3a＋3＝1，∴a＝2或a＝1(舍)． 答案：2 5．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意知0 答案：(－2，－1)∪(1，2) 1.分数指数幂与根式的关系： 分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为 幂的运算，从而简化计算过程． 2．指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按0 和a>1进行分类讨论． 典题导入 [例1] 化简下列各式(其中各字母均为正数)． 2－1111?a·b?－·a－·b3223(1)； 6a·b5710237 2?0.5＋0.1－2＋?2?－－3π0＋. (2)??9??27?3481111 a－b·a－b3223 [自主解答] (1)原式＝ 15ab661111151＝a－－－·b＋－＝. 326236a 25?11?64?－2－3＋37＝5＋100＋9－3＋37＝100. (2)原式＝?＋2＋?9?20.1?27?34831648 由题悟法 指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂．对于化简结果，形式力求统一． 以题试法 1．计算： 1711 －?－2＋?2?－(2－1)0； (1)(0.027)－－??9?23?7?指数式的化简与求值