2019-2020年高考数学压轴题集锦——数列（二）

*an??S?2a?3n(n?N)． Snnnn1.数列的前项和为，

（1）证明数列?an?3?是等比数列，求出数列?an?的通项公式． （2）设bn?2n?1(an?3)，求数列?bn?的前n项和Tn． 3（3）数列?bn?中是否存在三项，它们可以构成等比数列？若存在，求出一组符合条件的项；若不存在，说明理由．

2.设数列?则称?an?an?的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn?an，

是“H数列”．

（1）若数列?an?的前n项和为Sn?2n(n?N*)，证明：?an?是“H数列”．

（2）设?an?是等差数列，其首项a1?1，公差d?0，若?an?是“H数列”，求d的值．

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*(n,a)(n?N)在函数f(x)??2x?2的图象上，数列?an?的前n项和为Sn，数列n3.已知点

?bn?的前n项和为Tn，且Tn是6Sn与8n的等差中项．

（1）求数列?bn?的通项公式．

*（2）设cn?bn?8n?3，数列?dn?满足d1?c1，dn?l?cdn(n?N)．求数列?dn?的前n项和

Dn．

（3）在（2）的条件下，设g(x)是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数x1，x2，恒有g(x1x2)?x1g(x2)?x2g(x1)成立，且g(2)?a（a为常数，a?0），试判断数列??dn?1??g?????2?????是否为等差数列，并说明理由．

d?1n??????

4.已知等比数列足：

a1b1?a2b2?L?anbn?(n?1)?3n?1，n?N*．

?an?的公比q?1，a1?1，且a1，a3，a2?14成等差数列，数列?bn?满

（Ⅰ）求数列?an?和?bn?的通项公式．

（Ⅱ）若man≥bn?8恒成立，求实数m的最小值．

2

5.已知每项均为正整数的数列A:a1，a2，a3，a4，L，an，其中等于i的项有k个(i?1,2,3L)，设bj?k1?k2?L?kj(j?1,2,3L)，g(m)?b1?b2?L?bm?nm(m?1,2,3L)．

（1）设数列A:1，2，1，4，求g(1)，g(2)，g(3)，g(4)，g(5)． （2）若数列A满足a1?a2?L?an?n?100，求函数g(m)的最小值．

6.已知数列

?an?是首项为1，公比为q的等比数列．

（Ⅰ）证明：当0?q?1时，?an?是递减数列．

（Ⅱ）若对任意k?N*，都有ak，ak?2，ak?1成等差数列，求q的值．

7.已知数列{an}满足an=2an-1-2n+5，（n∈N且n≥2），a1=1，

（I）若bn=an-2n+1，求证数列{bn}（n∈N*）是常数列，并求{an}的通项；

（II）若Sn是数列{an}的前n项和，又cn=（-1）nSn，且{Cn}的前n项和Tn＞tn2在n∈N*时恒成立，求实数t的取值范围。

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