《机械优化设计》讲义
第一讲
第一课时：机械优化设计概论
课程的研究对象：根据最优化原理和方法，利用计算机为计算工具，寻求最优设计参数的一种现代设计方法。
目标：本课程目标体系可以分为三大块：理论基础、算法的分析、理解和掌握，算法的设计、实现（编程）能力的培养。将主要是对算法的学习为主，并兼顾培养一定的解决实际问题能力、上机编程调试能力。 首先，几个概念：优化（或最优化原理、方法）、优化设计、机械（工程）优化设计。
现代的优化方法，研究某些数学上定义的问题的，利用计算机为计算工具的最优解。
优化理论本身是一种应用性很强的学科，而工程优化设计（特别是机械优化设计）由于采用计算机作为工具解决工程中的优化问题，可以归入计算机辅助设计(CAD)的研究范畴。
再，优化方法的发展：源头是数学的极值问题，但不是简单的极值问题，计算机算法和运算的引入是关键。
从理论与实践的关系方面，符合实践-理论-实践的过程。优化原理和方法的理论基础归根结底还是来源于实际生产生活当中，特别是工程、管理领域对最优方案的寻找，一旦发展为一种相对独立系统、成熟的理论基础，反过来可以指导工程、管理领域最优方案的寻找（理论本身也在实践应用中不断进步、完善）。
解决优化设计问题的一般步骤：
机建算选编析计 械立法择码整算 设数调理结或计学试果 设问模的计 题型分
相关知识：数学方面：微积分、线性代数；计算机方面：编程语言、计算方法；专业领域方面：机械原理、力学等知识
内容：数学基础、一维到多维、无约束到有约束
1.1 数学模型
三个基本概念：设计变量、目标函数、约束条件 设计变量：
相对于设计常量（如材料的机械性能）
在设计域中变量是否连续：连续变量、离散变量（齿轮的齿数，）。
设计问题的维数，表征了设计的自由度。每个设计问题的方案（设计点）为设计空间中的一个对应的点。
设计空间：二维（设计平面）、三维（设计空间）、更高维（超设计空间）。 目标函数：
设计变量的函数。 单目标、多目标函数。 等值面的概念：设计目标为常量时形成的曲面（等值线、等值面、超等值面）。几何意义：等值线（等值线的公共中心既是无约束极小点）、等值面。 约束条件：
等式约束（约数个数小于设计问题的维数） 不等式约束
满足约束条件的设计点的集合构成可行域D：可行点、非可行点、边界设计点
几何意义（二维）：对于设计空间不满足不等式约束的部分，用阴影表示。 数学模型的一般形式：
寻找一个满足约束条件的设计点，使得目标函数值最小。
?minf(X),X?Rn?标准形式：s.t.gu(X)?0,u?1,2,?,m
?hv(X)?0,v?1,2,?,p?n
1.2
优化问题的几何描述
第二章 数学基础和数值迭代法
2.1 函数的方向导数和梯度 一、 函数的方向导数
?????f(X0)?f(X0)?f(X0)?f(X0)??cos?1?cos?2???cos?N?x1?x2?xn?S ?0N?f(X)??cos?i?xii?1二、函数的梯度
??N?f(X)?f(X)???cos?i?xi?Si?1???f(X)????x1??cos?1?? ????f(X)?f(X)??cos?2??????x2?xn??????cos??N?????f(X)?????x1?????f(X)???f(X)令?f(X)???x???2????x1???????f(X)???x?N????T?f(X)?f(X)??为函数在X点的梯度，包??x2?xN??含函数的一阶导数信息。
????fT?????f??S??f?S?cos(?f,S)?S
??f???????f??S?max即梯度方向是函数变化率最大的方向。
2.2 函数的泰勒展开与黑塞矩阵 一、泰勒展开式
??*?*T??*??*T?*??*1f(X)?f(X)??f(X)(X?X)?2!(X?X)H(X)(X?X)
?????2f(X*)?2?x1?2?*??f(X)?*其中黑塞（hessian）矩阵:H(X)???x2?x1??2??*??f(X)???xn?x1???*?f(X)?x1?x2?*2?f(X)2?x2??2?f(X*)?xn?x22?????*?f(X)??x1?xn??*?2?f(X)??x2?xn?
?????2f(X*)?2??xn?2包含函数的二阶导数信息。
2.3 凸集、凸函数、凸规划 一、凸集 ?1?2?1?2?X,X?D?En有?X?(1??)X?D，则D为凸集.
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