最新最全精品教育资料

三角变换与解三角形

一、三角变换与求值

例1、

分析：对三角函数式化简的目标是： （1）次数尽可能低； （2）角尽可能少；

（3）三角函数名称尽可能统一； （4）项数尽可能少。 观察欲化简的式子发现：

（1）次数为2（有降次的可能）； （2）涉及的角有α、β、2α、2β，（需要把2α化为α，2β化为β）； （3）函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）； （4）共有3项（需要减少），由于侧重角度不同，出发点不同，本题化简方法不止一种。 解法一：

解法二：（从“名”入手，异名化同名）

解法三：（从“幂”入手，利用降幂公式先降次） ?1?cos2??cos2? 22 解法四：（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方） ?cos(???)?

?cos(???)?211sin2??sin2??cos2??cos2? 221??2cos2(???)?1? 2［注］在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法。

二、正弦定理、余弦定理的运用

例2、已知ΔABC的三个内角A、B．C成等差数列，其外接圆半径为1，且有sinA?sinC?（1）求A、B．C的大小；（2）求ΔABC的的面积。

解析：∵A+B+C=180°且2B=A+C，∴B=60°，A+C=120°，C=120°－A。

∵sinA?sinC?22cos(A?C)?。2222cos(A?C)?， 22最新最全精品教育资料

最新最全精品教育资料

∴

1322， sinA?cosA?[1?2sin2(A?600)]=

22222. 又∵0°2?sin(A?600)[1?2sin(A?600)]?0,?sin(A?600)?0或sin(A?600)?

当A=60°时，B=60°，C=60°，

1133acsinB??4R2sin3600?; 224当A=105°时，B=60°，C=15°，

113此时 S??acsinB??4R2sin1050sin150sin600?.

224点评：要善于借助三角形内的部分变形条件，同时兼顾三角形的面积公式求得结果。 此时 S??例3、在△ABC中，sinA+cosA=

2，AC=2，AB=3，求tanA的值和△ABC的面积. 22， 2解法一：∵sinA+cosA=2cos（A－45°）=

1. 2又0°＜A＜180°，

∴A－45°=60°，A=105°. ∴cos（A－45°）=∴tanA=tan（45°+60°）=

1?31?3=－2－3.

∴sinA=sin105°=sin（45°+60°） =sin45°cos60°+cos45°sin60°=∴S△ABC==

2?6. 41AC·ABsinA 22?61·2·3·

423=（2+6）. 4解法二：∵sinA+cosA=∴（sinA+cosA）=

2

2， 2 ①

11.∴2sinAcosA=－. 22∵0°＜A＜180°，∴sinA＞0，cosA＜0. ∴90°＜A＜180°.

∵（sinA－cosA）=1－2sinAcosA=∴sinA－cosA=①+②得sinA=

6. 22?6. 42

3， 2

②

最新最全精品教育资料

最新最全精品教育资料

①－②得cosA=

2?6. 4∴tanA=

42?6sinA

=·=－2－3.

4cosA2?6（以下同解法一）

三、 解三角形应用举例

例4、如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设?MGA＝?（

?3???2?） 3?MBA（1）试将△AGM、△AGN的面积表示为?的函数（分别记为S1与S2）；

N11（2）求y＝2＋2的最大值与最小值。

S1S2

DC解析：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，所以 AG＝

?233，?MAG＝，由正?＝6323sin?。同理

弦定理

GMsin?6＝GAsin（?－?－）6sin??得GM＝36sin（?＋）6?，则S1＝

1GM?GA?sin?＝212sin（?＋）6?可求得S2＝

12sin（?－）6（2）y＝

?。

144???2?11222

〔sin（?＋）＋sin（?－）〕???＝＝72（3＋cot?）因为， ＋22sin2?6633y1y2所以当?＝

?2??或?＝时，y取得最大值ymax＝240，当?＝时，y取得最小值ymin＝216。

332

最新最全精品教育资料