大学物理答案(上、下)(北京邮电大学第3版) 下载本文

72

大学物理习题及解答 习题一

v=

2?dx??dy???????dt??dt?222及

1-1 |?r|与?r有无不同?

drdt和

drdt有无不同?

dvdt和

dvdt有无不同?其不同在哪里?试举例说明.

你认为两种方法哪一种正确?为什么?两者差别何在?

解:后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量,在平面直角坐

a=

?d2x??d2y???dt2?????dt2??????解:(1)

?r

是位移的模,

?r?r2?r1(2)

???r?r2?r1?r;

是位矢的模的增量,即

drdt是速度的模,即

drdsdt?v?dt.

drdt???r?xi?yj,

标系中,有

??drdx?dy??v??i?jdtdtdt??d2rd2x?d2y?a?2?2i?2jdtdtdt

故它们的模即为

只是速度在径向上的分量.

?drdrdr??r?r?(式中r?叫做单位矢)dtdt ∵有r?rr,则dtdr式中dt就是速度径向上的分量,

drdr与dtdt不同如题1-1图所示∴

?dx??dy?v?v?v???????dt??dt?2x2y222

而前一种方法的错误可能有两点,其一是概念上的错误,即误把速度、加速度定义作 .

?d2x??d2y?22a?ax?ay???dt2?????dt2??????2

题1-1图

(3)表示加速度的模,即

上的分量.

dvdt??dva?dtdrd2rv?a?2dtdt

drd2r与2dt误作速度与加速度的模。在1-1题中其二,可能是将dtdr已说明dt不是速度的模,而只是速度在径向上的分量,同样,

dv,dt是加速度a在切向

d2rdt2也不是加速度的模,它只是加速度在径向分量中的一部分

??v?v?(?表轨道节线方向单位矢)∵有,所以

??dvdv?d????vdtdtdt

dv式中dt就是加速度的切向分量.

???d??dr?与dtdt的运算较复杂,超出教材规定,故不予讨论) (

1-2 设质点的运动方程为x=x(t),y=y(t),在计算质点的速

dr22x?y,然后根据v=dt,

度和加速度时,有人先求出r=

2?d2r?d??????a径?2?r?dtdt??????。或者概括性地说,前一种方法只考

?虑了位矢r在径向(即量值)方面随时间的变化率,而没有考虑位

??vr矢及速度的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。

1-3 一质点在xOy平面上运动,运动方程为

d2r2及a=dt而求得结果;又有人先计算速度和加速度的分量,再

合成求得结果,即

1x=3t+5, y=2t+3t-4.

式中t以 s计,x,y以m计.(1)以时间t为变量,写出质点位置矢量的表示式;(2)求出t=1 s 时刻和t=2s 时刻的位置矢量,计算这1秒内质点的位移;(3)计算t=0 s时刻到t=4s时刻内的平均速度;(4)求出质点速度矢量表示式,计算t=4 s 时质点的速度;(5)计算t=0s 到t=4s 内质点的平均加速度;(6)求出质点加速度矢量的表示式,计算t=4s 时质点的加速度(请把位置矢

2

量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式).

?1??r?(3t?5)i?(t2?3t?4)j2m 解:(1)

1

72

(2)将t?1,t?2代入上式即有

???r1?8i?0.5j m

???r2?11j?4jm

??????r?r2?r1?3j?4.5jm

??????r?5j?4j,r?17i?16j 4(3)∵ 0∴

?????????rr4?r012i?20jv????3i?5jm?s?1?t4?04

????drv??3i?(t?3)jm?s?1dt(4)

? ??v?3i?7j m?s?1

则 4??????v?3i?3j,v?3i?7j 4(5)∵ 0??????vv4?v04a????1jm?s?2?t44

???dva??1jm?s?2dt(6)

这说明该点只有y方向的加速度,且为恒量。

1-4 在离水面高h米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,船在离岸S处,

?1v如题1-4图所示.当人以0(m·s)的速率收绳时,试求船运动

vdsldll???v0?0dtsdtscos?

lv0(h2?s2)1/2v0v船??ss或

v将船再对t求导,即得船的加速度 v船??s

dlds?ldv?v0s?lv船a?船?dt2dtv0?v02dtssl22(?s?)v02h2v0s??32ss

2a的1-5 质点沿x轴运动,其加速度和位置的关系为 a=2+6x,

单位为m?s10m?s?1?2,x的单位为 m. 质点在x=0处,速度为

,试求质点在任何坐标处的速度值.

a?解: ∵

dvdvdxdv??vdtdxdtdx

2?d??adx?(2?6x)dx

分离变量:

的速度和加速度的大小.

12v?2x?2x3?c两边积分得 2

v?10,∴c?50

由题知,x?0时,03?1v?2x?x?25m?s∴

1-6 已知一质点作直线运动,其加速度为 a=4+3t始运动时,x=5 m,

置.

m?s?2,开

v=0,求该质点在t=10s 时的速度和位

a? 图1-4

解: 设人到船之间绳的长度为l,此时绳与水面成?角,由图可知

l?h将上式对时间t求导,得

22dv?4?3tdt 解:∵

分离变量,得 dv?(4?3t)dt

?s2

3v?4t?t2?c12积分,得 v?0,∴c1?0

由题知,t?0,0

3v?4t?t22 故

dx3v??4t?t2dt2 又因为

3dx?(4t?t2)dt2分离变量,

题1-4图 1x?2t2?t3?c2根据速度的定义,并注意到l,s是随t减少的, 2积分得

dldsx?5,∴c2?5

v绳???v0,v船??由题知 t?0,0dtdt ∴ 1x?2t2?t3?52故

dlds2l?2sdtdt

2

72

所以t?10s时

v10?4?10?3?102?190m?s?121x10?2?102??103?5?705m2

3t?∴当

v0b时,a?b

v0沿水平线向前滚动:(1)证明轮缘

(?t?sin?t),y=

1-9 半径为R的轮子,以匀速

上任意点B的运动方程为x=R1-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动,运动方程为 ?=2+3t,

?式中以弧度计,t以秒计,求:(1) t=2 s

和法向加速度;(2)当加速度的方向和半径成45°角时,其角位移是多少?

??v0/R是轮子滚动的角速度,R(1?cos?t),式中当B与

水平线接触的瞬间开始计时.此时B所在的位置为原点,轮子前进方向为x轴正方向;(2)求B点速度和加速度的分量表示式.

解:依题意作出下图,由图可知

d?d??9t2,???18tdtdt 解:

?2a?R??1?18?2?36m?st?2s? (1)时,

??

an?R??1?(9?2)?1296m?s222?2

题1-9图

atan45????1οan(2)当加速度方向与半径成45角时,有

2R??R?即

x?v0t?2Rsin?v0t?Rsin??2cos?2(1)

22(9t)?18t

亦即

y?2Rsin?t3?则解得

29?R(?t?Rsin?t)(2)

22?R(1?cos?)?R(1?cos?t)

sin?

于是角位移为

2??2?3t3?2?3??2.679rad

1v0t?bt221-8 质点沿半径为R的圆周按s=的规律运动,式中

s为质点离圆周上某点的弧长,v0,b都是常量,求:(1)t时刻

质点的加速度;(2) t为何值时,加速度在数值上等于b.

ds?v0?btdt解:(1) dva????bdtv2(v0?bt)2an??RR

v?22n2dx?R?(1?cos?t)dtdy??Rsin?t)dt

dv?R?2sin?t?xdtdvy?R?2cos?t?dt ?1v1-10 以初速度0=20m?s抛出一小球,抛出方向与水平面成幔?vx????vy???ax????ay???60°的夹角,

求:(1)球轨道最高点的曲率半径1;(2)落地处的曲率半径(提示:利用曲率半径与法向加速度之间的关系)

解:设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示.

RR2.

(v0?bt)4a?a??a?b?R2则

加速度与半径的夹角为

??arctan(2)由题意应有

a??Rb?an(v0?bt)22

题1-10图

(1)在最高点,

(v0?bt)4a?b?b?R2即

(v0?bt)4b?b?,?(v0?bt)4?02R

22v1?vx?v0cos60o

an1?g?10m?s?2

3

72

an1?又∵

v12题1-13图

22?1v?v?v?50km?h12由图可知 21

?1v12(20?cos60?)2?1??an110∴

(2)在落地点,

??arctan方向北偏西

?10m???v?v1?v2,(2)小船看大船,则有12依题意作出速度矢量图如题

1-13图(b),同上法,得

v13?arctan?36.87?v24

v2?v0?20m?s?1,

v12?50km?h?1

oa而 n2?g?cos60

1-11 飞轮半径为0.4 m,自静止启动,其角加速度为

?22v2(20)2?2???80man210?cos60?

方向南偏东36.87

1-14 当一轮船在雨中航行时,它的雨篷遮着篷的垂直投影后2 m的甲板上,篷高4 m 但当轮船停航时,甲板上干湿两部分的分界

-1

线却在篷前3 m ,如雨滴的速度大小为8 m·s,求轮船的速率. 解: 依题意作出矢量图如题1-14所示.

oβ=0.2

rad·s,求t=2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度.

?1解:当t?2s时,???t?0.2?2?0.4rad?s

题1-14图

?1则v?R??0.4?0.4?0.16m?s

an?R?2?0.4?(0.4)2?0.064m?s?2

a??R??0.4?0.2?0.08m?s?2

???v?v?v雨船 ∵ 雨船???v?v雨船?v船

∴ 雨由图中比例关系可知

?2a?a?a??(0.064)?(0.08)?0.102m?s1-12 如题1-12图,物体

2n222

v船?v雨?8m?s?1

习题二

2-1 一细绳跨过一定滑轮,绳的一边悬有一质量为

A以相对B的速度v=2gy沿斜面

滑动,y为纵坐标,开始时A在斜面顶端高为h处,B物体以u匀速向右运动,求A物滑到地面时的速度.

v?y?hA?2ghA解:当滑至斜面底时,

,则

,

中又受到B的牵连运动影响,因此,

m1的物体,另

物运动过程

一边穿在质量为2的圆柱体的竖直细孔中,圆柱可沿绳子滑

动.今看到绳子从圆柱细孔中加速上升,柱体相对于绳子以匀加速度a?下滑,求1,2相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长,滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计).

解:因绳不可伸长,故滑轮两边绳子的加速度均为

m???'vA地?u?vAA对地的速度为

mm???(u?2ghcos?)i?(2ghsin?)j

a1,其对于m2m2对地

则为牵连加速度,又知2对绳子的相对加速度为a?,故加速度,由图(b)可知,为

ma2?a1?a?①

题1-12图 1-13 一船以速率

又因绳的质量不计,所以圆柱体受到的摩擦力的张力T,由牛顿定律,有

联立①、②、③式,得

f在数值上等于绳

v1=30km·h

-1

-1

沿直线向东行驶,另一小艇在其

前方以速率2=40km·h

沿直线向北行驶,问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?

vm1g?T?m1a1

???v?v2?v1,依题意作速度矢量图 解:(1)大船看小艇,则有21如题1-13图(a)

T?m2g?m2a2

4

72

(m1?m2)g?m2a?a1?m1?m2(m?m2)g?m1a?a2?1m1?m2mm(2g?a?)f?T?12m1?m2

a?a2表示柱体与绳之间无相对滑动.

讨论 (1)若a??0,则1?(2)若a?2g,则T?f?0,表示柱体与绳之间无任何作用

力,此时

235vx?vx0??axdt??2??2??m?s?10842?77vy?vy0??aydt??2??m?s?10168

于是质点在2s时的速度

5?7??v??i?jm?s?148

(2)

m1, m2均作自由落体运动.

题2-1图

2-2 一个质量为P的质点,在光滑的固定斜面(倾角为?)上以初速度0运动,0的方向与斜面底边的水平线

示,求这质点的运动轨道.

?1?1?r?(v0t?axt2)i?ayt2j22?1?7?13?(?2?2???4)i?()?4j2821613?7???i?jm48

2-4 质点在流体中作直线运动,受与速度成正比的阻力kv(k为

t=0时质点的速度为v0,常数)作用,证明(1) t时刻的速度为v=

vvAB平行,如图所

v0e?(k)tm;(2) 由0到t的时间内经过的距离为

?(k)tm解: 物体置于斜面上受到重力mg,斜面支持力N.建立坐标:取?v0方向为X轴,平行斜面与X轴垂直方向为Y轴.如图2-2.

题2-2图

mv0()k;)[1-e];(3)停止运动前经过的距离为

1t?mk时速度减至v0的e,式中m为质点的质量.

(4)证明当

?kvdva??mdt 答: (1)∵

分离变量,得

mv0x=(kX方向: Fx?0 x?v0t

方向: ②

dv?kdt?vmv

YFy?mgsin??mayt?0时 y?0 vy?0

1y?gsin?t22

由①、②式消去t,得

1y?2gsin??x22v0

2-3 质量为16 kg 的质点在xOy平面内运动,受一恒力作用,

力的分量为-2 m·s,当t=2 s

-1

t?kdtdv??v?0m

即 0vv?ktln?lnemv0

∴ (2)

v?v0ek?mt

x??vdt??v0e0tk?mtkmv0?mtdt?(1?e)k

(3)质点停止运动时速度为零,即t→∞,

fx=6 N,fy=-7 N,当t=0时,x?y?0,vx=vy=0.求

(1)位矢;(2)速度.

故有

x???v0e0?k?mtdt?mv0k

m (4)当t=k时,其速度为

fx63ax???m?s?2m168解:

fy?7ay??m?s?2m16

(1)

5

v?v0e1v即速度减至0的e.

km?m?k?v0e?1?v0e