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大学物理习题及解答 习题一
v=
2?dx??dy???????dt??dt?222及
1-1 ｜?r｜与?r有无不同?
drdt和
drdt有无不同?
dvdt和
dvdt有无不同?其不同在哪里?试举例说明．
你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？
解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐
a=
?d2x??d2y???dt2?????dt2??????解：（1）
?r
是位移的模，
?r?r2?r1（2）
，
???r?r2?r1?r；
是位矢的模的增量，即
drdt是速度的模，即
drdsdt?v?dt.
drdt???r?xi?yj，
标系中，有
??drdx?dy??v??i?jdtdtdt??d2rd2x?d2y?a?2?2i?2jdtdtdt
故它们的模即为
只是速度在径向上的分量.
?drdrdr??r?r?（式中r?叫做单位矢）dtdt ∵有r?rr，则dtdr式中dt就是速度径向上的分量，
drdr与dtdt不同如题1-1图所示∴
?dx??dy?v?v?v???????dt??dt?2x2y222
而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作 .
?d2x??d2y?22a?ax?ay???dt2?????dt2??????2
题1-1图
(3)表示加速度的模，即
上的分量.
dvdt??dva?dtdrd2rv?a?2dtdt
drd2r与2dt误作速度与加速度的模。在1-1题中其二，可能是将dtdr已说明dt不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，
dv，dt是加速度a在切向
d2rdt2也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一部分
??v?v?(?表轨道节线方向单位矢）∵有，所以
??dvdv?d????vdtdtdt
dv式中dt就是加速度的切向分量.
???d??dr?与dtdt的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) (
1-2 设质点的运动方程为x=x(t)，y=y(t)，在计算质点的速
dr22x?y，然后根据v=dt，
度和加速度时，有人先求出r＝
2?d2r?d??????a径?2?r?dtdt??????。或者概括性地说，前一种方法只考
?虑了位矢r在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位
??vr矢及速度的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。
1-3 一质点在xOy平面上运动，运动方程为
d2r2及a＝dt而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再
合成求得结果，即
1x=3t+5, y=2t+3t-4.
式中t以 s计，x,y以m计．(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t=1 s 时刻和t＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t＝0 s时刻到t＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t＝4 s 时质点的速度；(5)计算t＝0s 到t＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4s 时质点的加速度(请把位置矢
2
量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．
?1??r?(3t?5)i?(t2?3t?4)j2m 解：（1）
1
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(2)将t?1,t?2代入上式即有
???r1?8i?0.5j m
???r2?11j?4jm
??????r?r2?r1?3j?4.5jm
??????r?5j?4j,r?17i?16j 4(3)∵ 0∴
即
?????????rr4?r012i?20jv????3i?5jm?s?1?t4?04
????drv??3i?(t?3)jm?s?1dt(4)
? ??v?3i?7j m?s?1
则 4??????v?3i?3j,v?3i?7j 4(5)∵ 0??????vv4?v04a????1jm?s?2?t44
???dva??1jm?s?2dt(6)
这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。
1-4 在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，
?1v如题1-4图所示．当人以0(m·s)的速率收绳时，试求船运动
vdsldll???v0?0dtsdtscos?
lv0(h2?s2)1/2v0v船??ss或
v将船再对t求导，即得船的加速度 v船??s
dlds?ldv?v0s?lv船a?船?dt2dtv0?v02dtssl22(?s?)v02h2v0s??32ss
2a的1-5 质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为 a＝2+6x，
单位为m?s10m?s?1?2，x的单位为 m. 质点在x＝0处，速度为
,试求质点在任何坐标处的速度值．
a?解： ∵
dvdvdxdv??vdtdxdtdx
2?d??adx?(2?6x)dx
分离变量：
的速度和加速度的大小．
12v?2x?2x3?c两边积分得 2
v?10,∴c?50
由题知，x?0时，03?1v?2x?x?25m?s∴
1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a＝4+3t始运动时，x＝5 m，
置．
m?s?2，开
v=0，求该质点在t＝10s 时的速度和位
a? 图1-4
解： 设人到船之间绳的长度为l，此时绳与水面成?角，由图可知
l?h将上式对时间t求导，得
22dv?4?3tdt 解：∵
分离变量，得 dv?(4?3t)dt
?s2
3v?4t?t2?c12积分，得 v?0,∴c1?0
由题知，t?0,0
3v?4t?t22 故
dx3v??4t?t2dt2 又因为
3dx?(4t?t2)dt2分离变量，
题1-4图 1x?2t2?t3?c2根据速度的定义，并注意到l,s是随t减少的， 2积分得
dldsx?5,∴c2?5
v绳???v0,v船??由题知 t?0,0dtdt ∴ 1x?2t2?t3?52故
dlds2l?2sdtdt
2
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所以t?10s时
v10?4?10?3?102?190m?s?121x10?2?102??103?5?705m2
3t?∴当
v0b时，a?b
v0沿水平线向前滚动：(1)证明轮缘
(?t?sin?t)，y＝
1-9 半径为R的轮子，以匀速
上任意点B的运动方程为x＝R1-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 ?=2+3t，
?式中以弧度计，t以秒计，求：(1) t＝2 s
和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少?
??v0/R是轮子滚动的角速度，R(1?cos?t)，式中当B与
水平线接触的瞬间开始计时．此时B所在的位置为原点，轮子前进方向为x轴正方向；(2)求B点速度和加速度的分量表示式．
解：依题意作出下图，由图可知
d?d??9t2,???18tdtdt 解：
?2a?R??1?18?2?36m?st?2s? (1)时，
??
an?R??1?(9?2)?1296m?s222?2
题1-9图
atan45????1οan(2)当加速度方向与半径成45角时，有
2R??R?即
x?v0t?2Rsin?v0t?Rsin??2cos?2(1)
22(9t)?18t
亦即
y?2Rsin?t3?则解得
29?R(?t?Rsin?t)(2)
22?R(1?cos?)?R(1?cos?t)
sin?
于是角位移为
2??2?3t3?2?3??2.679rad
1v0t?bt221-8 质点沿半径为R的圆周按s＝的规律运动，式中
s为质点离圆周上某点的弧长,v0，b都是常量，求：(1)t时刻
质点的加速度；(2) t为何值时，加速度在数值上等于b．
ds?v0?btdt解：（1） dva????bdtv2(v0?bt)2an??RR
v?22n2dx?R?(1?cos?t)dtdy??Rsin?t)dt
dv?R?2sin?t?xdtdvy?R?2cos?t?dt ?1v1-10 以初速度0＝20m?s抛出一小球，抛出方向与水平面成幔?vx????vy???ax????ay???60°的夹角，
求：(1)球轨道最高点的曲率半径1；(2)落地处的曲率半径(提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)
解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示．
RR2．
(v0?bt)4a?a??a?b?R2则
加速度与半径的夹角为
??arctan(2)由题意应有
a??Rb?an(v0?bt)22
题1-10图
(1)在最高点，
(v0?bt)4a?b?b?R2即
(v0?bt)4b?b?,?(v0?bt)4?02R
22v1?vx?v0cos60o
an1?g?10m?s?2
3
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an1?又∵
v12题1-13图
22?1v?v?v?50km?h12由图可知 21
?1v12(20?cos60?)2?1??an110∴
(2)在落地点，
??arctan方向北偏西
?10m???v?v1?v2，(2)小船看大船，则有12依题意作出速度矢量图如题
1-13图(b)，同上法，得
v13?arctan?36.87?v24
v2?v0?20m?s?1,
v12?50km?h?1
oa而 n2?g?cos60
∴
1-11 飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度为
?22v2(20)2?2???80man210?cos60?
方向南偏东36.87
1-14 当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2 m的甲板上，篷高4 m 但当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界
-1
线却在篷前3 m ，如雨滴的速度大小为8 m·s，求轮船的速率． 解： 依题意作出矢量图如题1-14所示．
oβ=0.2
rad·s，求t＝2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．
?1解：当t?2s时，???t?0.2?2?0.4rad?s
题1-14图
?1则v?R??0.4?0.4?0.16m?s
an?R?2?0.4?(0.4)2?0.064m?s?2
a??R??0.4?0.2?0.08m?s?2
???v?v?v雨船 ∵ 雨船???v?v雨船?v船
∴ 雨由图中比例关系可知
?2a?a?a??(0.064)?(0.08)?0.102m?s1-12 如题1-12图，物体
2n222
v船?v雨?8m?s?1
习题二
2-1 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为
A以相对B的速度v＝2gy沿斜面
滑动，y为纵坐标，开始时A在斜面顶端高为h处，B物体以u匀速向右运动，求A物滑到地面时的速度．
v?y?hA?2ghA解：当滑至斜面底时，
，则
,
中又受到B的牵连运动影响，因此，
m1的物体，另
物运动过程
一边穿在质量为2的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑
动．今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度a?下滑，求1，2相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计)．
解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为
m???'vA地?u?vAA对地的速度为
mm???(u?2ghcos?)i?(2ghsin?)j
a1，其对于m2m2对地
则为牵连加速度，又知2对绳子的相对加速度为a?，故加速度，由图(b)可知，为
ma2?a1?a?①
题1-12图 1-13 一船以速率
又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力的张力T，由牛顿定律，有
②
③
联立①、②、③式，得
f在数值上等于绳
v1＝30km·h
-1
-1
沿直线向东行驶，另一小艇在其
前方以速率2＝40km·h
沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?
vm1g?T?m1a1
???v?v2?v1，依题意作速度矢量图 解：(1)大船看小艇，则有21如题1-13图(a)
T?m2g?m2a2
4
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(m1?m2)g?m2a?a1?m1?m2(m?m2)g?m1a?a2?1m1?m2mm(2g?a?)f?T?12m1?m2
a?a2表示柱体与绳之间无相对滑动．
讨论 (1)若a??0，则1?(2)若a?2g，则T?f?0，表示柱体与绳之间无任何作用
力，此时
235vx?vx0??axdt??2??2??m?s?10842?77vy?vy0??aydt??2??m?s?10168
于是质点在2s时的速度
5?7??v??i?jm?s?148
(2)
m1, m2均作自由落体运动．
题2-1图
2-2 一个质量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为?）上以初速度0运动，0的方向与斜面底边的水平线
示，求这质点的运动轨道．
?1?1?r?(v0t?axt2)i?ayt2j22?1?7?13?(?2?2???4)i?()?4j2821613?7???i?jm48
2-4 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv(k为
t=0时质点的速度为v0，常数)作用，证明(1) t时刻的速度为v＝
vvAB平行，如图所
v0e?(k)tm；(2) 由0到t的时间内经过的距离为
?(k)tm解: 物体置于斜面上受到重力mg，斜面支持力N.建立坐标：取?v0方向为X轴，平行斜面与X轴垂直方向为Y轴.如图2-2.
题2-2图
mv0()k；)［1-e］；(3)停止运动前经过的距离为
1t?mk时速度减至v0的e，式中m为质点的质量．
(4)证明当
?kvdva??mdt 答: (1)∵
分离变量，得
mv0x＝(kX方向： Fx?0 x?v0t
①
方向： ②
dv?kdt?vmv
YFy?mgsin??mayt?0时 y?0 vy?0
1y?gsin?t22
由①、②式消去t，得
1y?2gsin??x22v0
2-3 质量为16 kg 的质点在xOy平面内运动，受一恒力作用，
力的分量为-2 m·s，当t＝2 s
-1
t?kdtdv??v?0m
即 0vv?ktln?lnemv0
∴ (2)
v?v0ek?mt
x??vdt??v0e0tk?mtkmv0?mtdt?(1?e)k
(3)质点停止运动时速度为零，即t→∞，
fx＝6 N，fy＝-7 N，当t＝0时，x?y?0，vx＝vy＝0．求
(1)位矢；(2)速度．
故有
x???v0e0?k?mtdt?mv0k
m (4)当t=k时，其速度为
fx63ax???m?s?2m168解：
fy?7ay??m?s?2m16
(1)
5
v?v0e1v即速度减至0的e.
km?m?k?v0e?1?v0e