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大学物理习题及解答 习题一
v=
2?dx??dy???????dt??dt?222及
1-1 |?r|与?r有无不同?
drdt和
drdt有无不同?
dvdt和
dvdt有无不同?其不同在哪里?试举例说明.
你认为两种方法哪一种正确?为什么?两者差别何在?
解:后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量,在平面直角坐
a=
?d2x??d2y???dt2?????dt2??????解:(1)
?r
是位移的模,
?r?r2?r1(2)
,
???r?r2?r1?r;
是位矢的模的增量,即
drdt是速度的模,即
drdsdt?v?dt.
drdt???r?xi?yj,
标系中,有
??drdx?dy??v??i?jdtdtdt??d2rd2x?d2y?a?2?2i?2jdtdtdt
故它们的模即为
只是速度在径向上的分量.
?drdrdr??r?r?(式中r?叫做单位矢)dtdt ∵有r?rr,则dtdr式中dt就是速度径向上的分量,
drdr与dtdt不同如题1-1图所示∴
?dx??dy?v?v?v???????dt??dt?2x2y222
而前一种方法的错误可能有两点,其一是概念上的错误,即误把速度、加速度定义作 .
?d2x??d2y?22a?ax?ay???dt2?????dt2??????2
题1-1图
(3)表示加速度的模,即
上的分量.
dvdt??dva?dtdrd2rv?a?2dtdt
drd2r与2dt误作速度与加速度的模。在1-1题中其二,可能是将dtdr已说明dt不是速度的模,而只是速度在径向上的分量,同样,
dv,dt是加速度a在切向
d2rdt2也不是加速度的模,它只是加速度在径向分量中的一部分
??v?v?(?表轨道节线方向单位矢)∵有,所以
??dvdv?d????vdtdtdt
dv式中dt就是加速度的切向分量.
???d??dr?与dtdt的运算较复杂,超出教材规定,故不予讨论) (
1-2 设质点的运动方程为x=x(t),y=y(t),在计算质点的速
dr22x?y,然后根据v=dt,
度和加速度时,有人先求出r=
2?d2r?d??????a径?2?r?dtdt??????。或者概括性地说,前一种方法只考
?虑了位矢r在径向(即量值)方面随时间的变化率,而没有考虑位
??vr矢及速度的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。
1-3 一质点在xOy平面上运动,运动方程为
d2r2及a=dt而求得结果;又有人先计算速度和加速度的分量,再
合成求得结果,即
1x=3t+5, y=2t+3t-4.
式中t以 s计,x,y以m计.(1)以时间t为变量,写出质点位置矢量的表示式;(2)求出t=1 s 时刻和t=2s 时刻的位置矢量,计算这1秒内质点的位移;(3)计算t=0 s时刻到t=4s时刻内的平均速度;(4)求出质点速度矢量表示式,计算t=4 s 时质点的速度;(5)计算t=0s 到t=4s 内质点的平均加速度;(6)求出质点加速度矢量的表示式,计算t=4s 时质点的加速度(请把位置矢
2
量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式).
?1??r?(3t?5)i?(t2?3t?4)j2m 解:(1)
1
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(2)将t?1,t?2代入上式即有
???r1?8i?0.5j m
???r2?11j?4jm
??????r?r2?r1?3j?4.5jm
??????r?5j?4j,r?17i?16j 4(3)∵ 0∴
即
?????????rr4?r012i?20jv????3i?5jm?s?1?t4?04
????drv??3i?(t?3)jm?s?1dt(4)
? ??v?3i?7j m?s?1
则 4??????v?3i?3j,v?3i?7j 4(5)∵ 0??????vv4?v04a????1jm?s?2?t44
???dva??1jm?s?2dt(6)
这说明该点只有y方向的加速度,且为恒量。
1-4 在离水面高h米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,船在离岸S处,
?1v如题1-4图所示.当人以0(m·s)的速率收绳时,试求船运动
vdsldll???v0?0dtsdtscos?
lv0(h2?s2)1/2v0v船??ss或
v将船再对t求导,即得船的加速度 v船??s
dlds?ldv?v0s?lv船a?船?dt2dtv0?v02dtssl22(?s?)v02h2v0s??32ss
2a的1-5 质点沿x轴运动,其加速度和位置的关系为 a=2+6x,
单位为m?s10m?s?1?2,x的单位为 m. 质点在x=0处,速度为
,试求质点在任何坐标处的速度值.
a?解: ∵
dvdvdxdv??vdtdxdtdx
2?d??adx?(2?6x)dx
分离变量:
的速度和加速度的大小.
12v?2x?2x3?c两边积分得 2
v?10,∴c?50
由题知,x?0时,03?1v?2x?x?25m?s∴
1-6 已知一质点作直线运动,其加速度为 a=4+3t始运动时,x=5 m,
置.
m?s?2,开
v=0,求该质点在t=10s 时的速度和位
a? 图1-4
解: 设人到船之间绳的长度为l,此时绳与水面成?角,由图可知
l?h将上式对时间t求导,得
22dv?4?3tdt 解:∵
分离变量,得 dv?(4?3t)dt
?s2
3v?4t?t2?c12积分,得 v?0,∴c1?0
由题知,t?0,0
3v?4t?t22 故
dx3v??4t?t2dt2 又因为
3dx?(4t?t2)dt2分离变量,
题1-4图 1x?2t2?t3?c2根据速度的定义,并注意到l,s是随t减少的, 2积分得
dldsx?5,∴c2?5
v绳???v0,v船??由题知 t?0,0dtdt ∴ 1x?2t2?t3?52故
dlds2l?2sdtdt
2
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所以t?10s时
v10?4?10?3?102?190m?s?121x10?2?102??103?5?705m2
3t?∴当
v0b时,a?b
v0沿水平线向前滚动:(1)证明轮缘
(?t?sin?t),y=
1-9 半径为R的轮子,以匀速
上任意点B的运动方程为x=R1-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动,运动方程为 ?=2+3t,
?式中以弧度计,t以秒计,求:(1) t=2 s
和法向加速度;(2)当加速度的方向和半径成45°角时,其角位移是多少?
??v0/R是轮子滚动的角速度,R(1?cos?t),式中当B与
水平线接触的瞬间开始计时.此时B所在的位置为原点,轮子前进方向为x轴正方向;(2)求B点速度和加速度的分量表示式.
解:依题意作出下图,由图可知
d?d??9t2,???18tdtdt 解:
?2a?R??1?18?2?36m?st?2s? (1)时,
??
an?R??1?(9?2)?1296m?s222?2
题1-9图
atan45????1οan(2)当加速度方向与半径成45角时,有
2R??R?即
x?v0t?2Rsin?v0t?Rsin??2cos?2(1)
22(9t)?18t
亦即
y?2Rsin?t3?则解得
29?R(?t?Rsin?t)(2)
22?R(1?cos?)?R(1?cos?t)
sin?
于是角位移为
2??2?3t3?2?3??2.679rad
1v0t?bt221-8 质点沿半径为R的圆周按s=的规律运动,式中
s为质点离圆周上某点的弧长,v0,b都是常量,求:(1)t时刻
质点的加速度;(2) t为何值时,加速度在数值上等于b.
ds?v0?btdt解:(1) dva????bdtv2(v0?bt)2an??RR
v?22n2dx?R?(1?cos?t)dtdy??Rsin?t)dt
dv?R?2sin?t?xdtdvy?R?2cos?t?dt ?1v1-10 以初速度0=20m?s抛出一小球,抛出方向与水平面成幔?vx????vy???ax????ay???60°的夹角,
求:(1)球轨道最高点的曲率半径1;(2)落地处的曲率半径(提示:利用曲率半径与法向加速度之间的关系)
解:设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示.
RR2.
(v0?bt)4a?a??a?b?R2则
加速度与半径的夹角为
??arctan(2)由题意应有
a??Rb?an(v0?bt)22
题1-10图
(1)在最高点,
(v0?bt)4a?b?b?R2即
(v0?bt)4b?b?,?(v0?bt)4?02R
22v1?vx?v0cos60o
an1?g?10m?s?2
3
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an1?又∵
v12题1-13图
22?1v?v?v?50km?h12由图可知 21
?1v12(20?cos60?)2?1??an110∴
(2)在落地点,
??arctan方向北偏西
?10m???v?v1?v2,(2)小船看大船,则有12依题意作出速度矢量图如题
1-13图(b),同上法,得
v13?arctan?36.87?v24
v2?v0?20m?s?1,
v12?50km?h?1
oa而 n2?g?cos60
∴
1-11 飞轮半径为0.4 m,自静止启动,其角加速度为
?22v2(20)2?2???80man210?cos60?
方向南偏东36.87
1-14 当一轮船在雨中航行时,它的雨篷遮着篷的垂直投影后2 m的甲板上,篷高4 m 但当轮船停航时,甲板上干湿两部分的分界
-1
线却在篷前3 m ,如雨滴的速度大小为8 m·s,求轮船的速率. 解: 依题意作出矢量图如题1-14所示.
oβ=0.2
rad·s,求t=2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度.
?1解:当t?2s时,???t?0.2?2?0.4rad?s
题1-14图
?1则v?R??0.4?0.4?0.16m?s
an?R?2?0.4?(0.4)2?0.064m?s?2
a??R??0.4?0.2?0.08m?s?2
???v?v?v雨船 ∵ 雨船???v?v雨船?v船
∴ 雨由图中比例关系可知
?2a?a?a??(0.064)?(0.08)?0.102m?s1-12 如题1-12图,物体
2n222
v船?v雨?8m?s?1
习题二
2-1 一细绳跨过一定滑轮,绳的一边悬有一质量为
A以相对B的速度v=2gy沿斜面
滑动,y为纵坐标,开始时A在斜面顶端高为h处,B物体以u匀速向右运动,求A物滑到地面时的速度.
v?y?hA?2ghA解:当滑至斜面底时,
,则
,
中又受到B的牵连运动影响,因此,
m1的物体,另
物运动过程
一边穿在质量为2的圆柱体的竖直细孔中,圆柱可沿绳子滑
动.今看到绳子从圆柱细孔中加速上升,柱体相对于绳子以匀加速度a?下滑,求1,2相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长,滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计).
解:因绳不可伸长,故滑轮两边绳子的加速度均为
m???'vA地?u?vAA对地的速度为
mm???(u?2ghcos?)i?(2ghsin?)j
a1,其对于m2m2对地
则为牵连加速度,又知2对绳子的相对加速度为a?,故加速度,由图(b)可知,为
ma2?a1?a?①
题1-12图 1-13 一船以速率
又因绳的质量不计,所以圆柱体受到的摩擦力的张力T,由牛顿定律,有
②
③
联立①、②、③式,得
f在数值上等于绳
v1=30km·h
-1
-1
沿直线向东行驶,另一小艇在其
前方以速率2=40km·h
沿直线向北行驶,问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?
vm1g?T?m1a1
???v?v2?v1,依题意作速度矢量图 解:(1)大船看小艇,则有21如题1-13图(a)
T?m2g?m2a2
4
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(m1?m2)g?m2a?a1?m1?m2(m?m2)g?m1a?a2?1m1?m2mm(2g?a?)f?T?12m1?m2
a?a2表示柱体与绳之间无相对滑动.
讨论 (1)若a??0,则1?(2)若a?2g,则T?f?0,表示柱体与绳之间无任何作用
力,此时
235vx?vx0??axdt??2??2??m?s?10842?77vy?vy0??aydt??2??m?s?10168
于是质点在2s时的速度
5?7??v??i?jm?s?148
(2)
m1, m2均作自由落体运动.
题2-1图
2-2 一个质量为P的质点,在光滑的固定斜面(倾角为?)上以初速度0运动,0的方向与斜面底边的水平线
示,求这质点的运动轨道.
?1?1?r?(v0t?axt2)i?ayt2j22?1?7?13?(?2?2???4)i?()?4j2821613?7???i?jm48
2-4 质点在流体中作直线运动,受与速度成正比的阻力kv(k为
t=0时质点的速度为v0,常数)作用,证明(1) t时刻的速度为v=
vvAB平行,如图所
v0e?(k)tm;(2) 由0到t的时间内经过的距离为
?(k)tm解: 物体置于斜面上受到重力mg,斜面支持力N.建立坐标:取?v0方向为X轴,平行斜面与X轴垂直方向为Y轴.如图2-2.
题2-2图
mv0()k;)[1-e];(3)停止运动前经过的距离为
1t?mk时速度减至v0的e,式中m为质点的质量.
(4)证明当
?kvdva??mdt 答: (1)∵
分离变量,得
mv0x=(kX方向: Fx?0 x?v0t
①
方向: ②
dv?kdt?vmv
YFy?mgsin??mayt?0时 y?0 vy?0
1y?gsin?t22
由①、②式消去t,得
1y?2gsin??x22v0
2-3 质量为16 kg 的质点在xOy平面内运动,受一恒力作用,
力的分量为-2 m·s,当t=2 s
-1
t?kdtdv??v?0m
即 0vv?ktln?lnemv0
∴ (2)
v?v0ek?mt
x??vdt??v0e0tk?mtkmv0?mtdt?(1?e)k
(3)质点停止运动时速度为零,即t→∞,
fx=6 N,fy=-7 N,当t=0时,x?y?0,vx=vy=0.求
(1)位矢;(2)速度.
故有
x???v0e0?k?mtdt?mv0k
m (4)当t=k时,其速度为
fx63ax???m?s?2m168解:
fy?7ay??m?s?2m16
(1)
5
v?v0e1v即速度减至0的e.
km?m?k?v0e?1?v0e