72

U1C23??U2C12，而U1?U2?1000

r?R3时

∴在

?E2??Qr4π?0r3

U1?600V,U2?400V

CC即电容1电压超过耐压值会击穿，然后2也击穿．

∴

8-33 将两个电容器C1和C2充电到相等的电压U以后切断电源，再将每一电容器的正极板与另一电容器的负极板相联．试求：

(1)每个电容器的最终电荷； (2)电场能量的损失．

R1?r?R2区域

W1??R2R11Q22?0()4πrdr224π?0r

??在

R2R1Q2drQ211?(?)28π?RR8π?0r012

qq解: 如题8-33图所示，设联接后两电容器带电分别为1,2r?R3区域

1QQ2122W2???0()4πrdr?2R328π?0R34π?0r?

题8-33图

?q1?q2?q10?q20?C1U?C2U??q1C1U1???q2C2U2?U?U2则?1

C1(C1?C2)C(C?C2)U,q2?21UC1?C2q?C1?C2解得 (1) 1(2)电场能量损失

Q2111W?W1?W2?(??)8π?0R1R2R3

∴ 总能量

?1.82?10?4J

(2)导体壳接地时，只有

??QrE?4π?0r3,W2?0

R1?r?R2时

Q211W?W1?(?)?1.01?10?48π?0R1R2∴ J

C?2W11?4π?/(?)0R1R2 Q2?W?W0?W

2(3)电容器电容 q12q21122?12?(C1U?C2U)?(?)?4.49?10F 222C12C2

2C1C22习题九 ?U C1?C2?

9-1 在同一磁感应线上，各点B的数值是否都相等?为何不把作用

R?8-34 半径为1=2.0cm 的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳

于运动电荷的磁力方向定义为磁感应强度B的方向?

?RR32的内、外半径分别为=4.0cm和=5.0cm，当内球带电荷解: 在同一磁感应线上，各点B的数值一般不相等．因为磁场作

?Q=3.0×10C用于运动电荷的磁力方向不仅与磁感应强度B的方向有关，而且

与电荷速度方向有关，即磁力方向并不是唯一由磁场决定的，所以(1)整个电场储存的能量； ?(2)如果将导体壳接地，计算储存的能量； 不把磁力方向定义为B的方向．

-8

(3)此电容器的电容值．

解: 如图，内球带电Q，外球壳内表面带电?Q，外表面带电Q

题9-2图

9-2 (1)在没有电流的空间区域里，如果磁感应线是平行直线，磁感

题8-34图

应强度B的大小在沿磁感应线和垂直它的方向上是否可能变化(即磁场是否一定是均匀的)?

(2)若存在电流，上述结论是否还对?

解: (1)不可能变化，即磁场一定是均匀的．如图作闭合回路

?r?R1和R2?r?R3区域

?E?0

??QrE1?34π?rR?r?R02时 在1(1)在

??∴ B1?B2

46

abcd可证明B1?B2

???B?dl?B1da?B2bc??0?I?0

abcd??72

(2)若存在电流，上述结论不对．如无限大均匀带电平面两侧之磁

???B?B力线是平行直线，但B方向相反，即12.

9-3 用安培环路定理能否求有限长一段载流直导线周围的磁场?

答: 不能，因为有限长载流直导线周围磁场虽然有轴对称性，但不是稳恒电流，安培环路定理并不适用． 9-4 在载流长螺线管的情况下，我们导出其内部B??4?3?B?S3?2?0.3?0.5?cos??2?0.3?0.5??0.245Wb (或曰?0.24Wb)

??0nI，外面

?9-7 如题9-7图所示，AB、CD为长直导线，BC为圆心在O点的一段圆弧形导线，其半径为R．若通以电流I，求O点的磁感应强度．

?解：如题9-7图所示，O点磁场由AB、BC、CD三部分电流

产生．其中

题9-7图

B=0，所以在载流螺线管

外面环绕一周(见题9-4图)的环路积分

??·dlB?L外=0

但从安培环路定理来看，环路L中有电流I穿过，环路积分应为

?? LB外·dl=?0I

?这是为什么? 解: 我们导出B内??0nl,B外?0有一个假设的前提，即每匝

电流均垂直于螺线管轴线．这时图中环路L上就一定没有电流通

??过，即也是?B外?dl??0?I?0，与

L????B外?dl??0?dl?0是不矛盾的．但这是导线横截面积为

L零，螺距为零的理想模型．实际上以上假设并不真实存在，所以使

?得穿过L的电流为I，因此实际螺线管若是无限长时，只是B外的

轴向分量为零，而垂直于轴的圆周方向分量B?一点到螺线管轴的距离．

??0I,r为管外2?r

题 9 - 4 图

9-5 如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转，能否肯定这个区域中没有磁场?如果它发

生偏转能否肯定那个区域中存在着磁场?

解：如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转，不能肯定这个区域中没有磁场，也可能存在互相垂直的电场和磁场，电子受的电场力与磁场力抵消所致．如果它发生偏转也不能肯定那个区域存在着磁场，因为仅有电场也可以使电子偏转． 9-6 已知磁感应强度Bm?2.0Wb·

-2

?AB 产生 B1?0

?ICD 产生B2?0，方向垂直向里

12R产生 CD 段

?I?I3B3?0(sin90??sin60?)?0(1?)，方向

R2?R24?2?向里

?0I3?(1??)，方向?向里．∴B0?B1?B2?B3? 2?R269-8 在真空中，有两根互相平行的无限长直导线L1和L2，相距0.1m，通有方向相反的电流，I1=20A,I2=10A，如题9-8图所示．A，B两点与导线在同一平面内．这两点与导线L2的距离均为5.0cm．试求A，B两点处的磁感应强度，以及磁感应强度

为零的点的位置．

x轴

正方向，如题9-6图所示．试求：(1)通过图中abcd面的磁通量；(2)通过图中befc面的磁通量；(3)通过图中aefd面的磁通量． 解： 如题9-6图所示

题9-6图

(1)通过abcd面积S1的磁通是

题9-8图

?解：如题9-8图所示,BA方向垂直纸面向里

?0I1?0I2BA???1.2?10?4T

2?(0.1?0.05)2??0.05?(2)设B?0在L2外侧距离L2为r处

?0I?I?2?0 则

2?(r?0.1)2?r解得 r?0.1 m

???1?B?S1?2.0?0.3?0.4?0.24Wb

(2)通过befc面积S2的磁通量

???2?B?S2?0

(3)通过aefd面积S3的磁通量

47

题9-9图

72

A，B两

点，并在很远处与电源相连．已知圆环的粗细均匀，求环中心O的

9-9 如题9-9图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的磁感应强度．

解： 如题9-9图所示，圆心O点磁场由直电流为零。且

????0ev?aB0?

4?a3如题9-11图，方向垂直向里，大小为

A?和B?及两

段圆弧上电流I1与I2所产生，但A?和B?在O点产生的磁场

I1电阻R2?. ??I2电阻R12???B0???0ev?13 T 24?a

电子磁矩Pm在图中也是垂直向里，大小为

?I1产生B1方向?纸面向外

Pm?题

e2eva?a??9.2?10?24 A?m2T29-11

B1?I2产生B2方向?纸面向里

?I?B2?02

2R2?B1I1(2???)??1 ∴ B2I2????有 B0?B1?B2?0 9-10 在一半径R=1.0cm而下地有电流I=5.0 A通过，电流分布均匀.如题9-10图所示．试求圆柱轴线任一点P处的磁感应强度．

?0I1(2???)，

2?R2?图

题9-12图

9-12 两平行长直导线相距d=40cm，每根导线载有电流

I1=I2=20A，如题9-12图所示．求：

(1)两导线所在平面内与该两导线等距的一点

A处的磁感应强度；

(2)通过图中斜线所示面积的磁通量．(r1=r3=10cm, 解：(1) BAl=25cm)．

??0I1d2?()2??0I2d2?()2?4?10?5 T

?纸

面向外

题9-10图

解：因为金属片无限长，所以圆柱轴线上任一点P的磁感应强度方向都在圆柱截面上，取坐标如题9-10图所示，取宽为dl的一无

(2)取面元

?I限长直电流dI?dl，在轴上P点产生dB与R垂直，大小

?R为

dS?ldr

?1I1r1?r2?I?Il?Il1?Il???[01?]ldr?01ln3?02ln?1r12?r2?(d?r)2?2?3?Wb

??0.

9-13 一根很长的铜导线载有电流10A，设电流均匀分布.在导线内部作一平面S，如题9-13图所示．试计算通过S平面的磁通量(沿导线长度方向取长为1m的一段作计算)．铜的磁导率?解：由安培环路定律求距圆导线轴为r处的磁感应强度

I?0Rd??0dI?Id??RdB???02 2?R2?R2?R?Icos?d? dBx?dBcos??022?R?Isin?d?? dBy?dBcos(??)??0222?R∴

?B??dl??0?I

lIr2B2?r??02R

∴

B??0Ir2?R2

?0I?Icos?d??0I???[sin?sin(?)]??6.37?10?52222?R2?R22?R T ? ?0Isin?d?2 题 By???(?)?0 2?9-13 图 2?R2????R?Ir?5?0I?60∴ B?6.37?10i T dr??10磁通量 ?m??B?dS??

(s)02?R29-11 氢原子处在基态时，它的电子可看作是在半径a=0.52×4?10cm的轨道上作匀速圆周运动，速率v=2.2×10cm·s．求电子Wb Bx??-8

8

-1

?2??2在轨道中心所产生的磁感应强度和电子磁矩的值． 解：电子在轨道中心产生的磁感应强度

48

72

9-14 设题9-14图中两导线中的电流均为8A，对图示的三条闭合曲线a,b,c，分别写出安培环路定理等式右边电流的代数和．并讨论：

?(1)在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度B的大小是否相等?

?(2)在闭合曲线c上各点的B是否为零?为什么?

??解： ?B?dl?8?0a???baB??dl??8?0 ?cB??dl?0

(1)在各条闭合曲线上，各点B的大小不相等．

??(2)在闭合曲线C上各点B不为零．只是B的环路积分为零而非

?每点B?0．

r2?b2??0I(3)b?r?c B2?r???0I2c?b2?0I(c2?r2) B?222?r(c?b)(4)r?c B2?r?0

B?0

题

9-16

图

题9-14图

题

9-17图

9-17 在半径为R的长直圆柱形导体内部，与轴线平行地挖成一半径为r的长直圆柱形空腔，两轴间距离为a,且a＞r，横截面如题9-17图所示．现在电流I沿导体管流动，电流均匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行．求： (1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小； (2)空心部分轴线上的磁感应强度的大小．

解：空间各点磁场可看作半径为R，电流I1均匀分布在横截面上的圆柱导体和半径为r电流?磁场之和．

(1)圆柱轴线上的O点B的大小： 电流I1产生的B1题

9-15图

9-15 题9-15图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截面，内、外半径分别为a,b，导体内载有沿轴线方向的电流I，且I均匀地分布在管的横截面上．设导体的磁导率?体内部各点(aI2均匀分布在横截面上的圆柱导体

??0，试证明导

?r?b) 的磁感应强度的大小由下式给出：

r2?a2 B?r2?(b2?a2)解：取闭合回路l?2?r (a?r?b)

??则 ?B?dl?B2?r

?0I

?0，电流?I2产生的磁场

?0I2?0Ir2B2??2?a2?aR2?r2?

∴ B0(2)空心部分轴线上O?点B的大小：

?0Ir22?a(R?r)22

lI?I?(?r??a)?b2??a2

?0I(r2?a2)∴ B?

2?r(b2?a2)9-16 一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱(半径为a)和一同轴的

22?电流I2产生的B2?0，

导体圆管(内、外半径分别

为b,c)构成，如题9-16图所示．使用时，电流I从一导体流去，

从另一导体流回．设电流都是均匀地分布在导体的横截面上，求：(1)导体圆柱内(r＜a),(2)两导体之间(a＜r＜b)，（3）导体圆筒内(b＜r＜c)以及(4)电缆外(r＞c)各点处磁感应强度的大小

解：

?0Ia?0Ia2???电流I1产生的B2 22222?aR?r2?(R?r)?0Ia?B?∴ 0

2?(R2?r2)?L??B?dl??0?I

题9-18图

框，通以电流I2，二者

Ir2(1)r?a B2?r??0R2

9-18 如题9-18图所示，长直电流I1附近有一等腰直角三角形线

B?(2) a?0Ir2?R2

?r?b B2?r??0I

?IB?02?rABC的各边所受的磁力．

???A解： FAB??I2dl?B

共面．求△

B

49

FAB?I2a?0I1?0I1I2a? 方向垂直AB向左 2?d2?d

???CFAC??I2dl?B 方向垂直AC向下，大小为

A72

?FCF方向垂直CF向上，大小为

d?a?II?IId?a012FCF??dr?012ln?9.2?10?5 N

d2?r2?d?FED方向垂直ED向下，大小为

FED?FCF?9.2?10?5N

?????(2)合力F?FCD?FFE?FCF?FED方向向左，大小为

?I?IId?a FAC??I2dr01?012lnd2?r2?d?同理 FBC方向垂直BC向上，大小

d?a?IFBc??I2dl01

d2?rdr∵ dl? ?cos45d?a???合力矩M?Pm?B

∵ 线圈与导线共面

F?7.2?10?4N

??//B

∴

FBC??d?aa?0I2I1dr?IId?a?012ln

2?rcos45?d2?∴ Pm?M?0．

题9-19图

?9-19 在磁感应强度为B的均匀磁场中，垂直于磁场方向的平面内有一段载流弯曲导线，电流为I，如题9-19图所示．求其所受的安培力．

?解：在曲线上取dl

???b则 Fab??Idl?B

a图

9-21 边长为l=0.1mB=1T 的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向平行.如题9-21图所示，使线圈通以电流I=10A，求：

(1) 线圈每边所受的安培力；

(2) 对OO?轴的磁力矩大小；

(3)从所在位置转到线圈平面与磁场垂直时磁力所作的功．

??????∵ dl与B夹角?dl，B??不变，B是均匀的．

2????bb?F?Idl?B?I(dl)?B?Iab?B∴ ab? ?aa???解： (1) Fbc?Il?B?0

???Fab?Il?B 方向?纸面向外，大小为 ???Fca?Il?B方向?纸面向里，大小

(2)PmFab?IlBsin120??0.866 N Fca?IlBsin120??0.866 N

方向⊥ab向上，大小Fab?BIab

?IS ???M?Pm?B 沿OO?方向，大小为

题9-20图

AB内通以电流I1=20A，在

矩形线圈CDEF中通有电流I2=10 A，AB与线圈共面，且CD，EF都与AB平行．已知a=9.0cm,b=20.0cm,d=1.0 cm，求：

9-20 如题9-20图所示，在长直导线

(1)导线AB的磁场对矩形线圈每边所作用的力；(2)矩形线圈所受合力和合力矩．

3l2M?ISB?IB?4.33?10?2 N?m

4(3)磁力功 A?I(?2??1)

∵ ?1∴

9-22 一正方形线圈，由细导线做成，边长为a，共有N匝，可以绕通过其相对两边中点的一个竖直轴自由转动．现在线圈中通有电

?0 ?2?32lB 4A?I32lB?4.33?10?2J4? 解：(1)FCD方向垂直CD向左，大小

FCD?I2b?F同理FE方向垂直FE向右，大小

?0I1FFE?I2b?8.0?10?5 N

2?(d?a)

50

?0I1?8.0?10?4 N 2?d?流I，并把线圈放在均匀的水平外磁场B中，线圈对其转轴的转动惯量为J.求线圈绕其平衡位置作微小振动时的振动周期T.

??解：设微振动时线圈振动角度为? (???Pm,B?)，则

M?PmBsin??NIa2Bsin?