72

mmmm2-5 升降机内有两物体，质量分别为1，2，且2＝21．用

细绳连接，跨过滑轮,绳子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略

????p?mv?mv0

由矢量图知，动量增量大小为

1mm不计，当升降机以匀加速a＝2g上升时，求：(1) 1和2相

mm对升降机的加速度．(2)在地面上观察1，2的加速度各为多少?

解: 分别以(1)设

?mv0m1,m2为研究对象，其受力图如图(b)所示．

2-7 一质量为m的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞．并在抛出1 s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等．求小球与桌面碰撞过程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向．并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒?

解: 由题知，小球落地时间为0.5s．因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大小为大小亦为

，方向竖直向下．

m2相对滑轮(即升降机)的加速度为a?，则m2对地加速度

a2?a??a；因绳不可伸长，故m1对滑轮的加速度亦为a?，又m1在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以m1在水平方向对

地加速度亦为a?，由牛顿定律，有

v1?gt?0.5g，小球上跳速度的

m2g?T?m2(a??a)

T?m1a?

大小 碰撞过程中动量不守恒．这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用．另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒．

v2?0.5g．设向上为y轴正向，则动量的增量

????p?mv2?mv1方向竖直向上，

??p?mv2?(?mv1)?mg?F?(10?2t)iN，式

2-8 作用在质量为10 kg的物体上的力为

中t的单位是s，(1)求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及??6jm·s

?p1??向， ?t力给予物体的冲量．(2)为了使这力的冲量为200 N·s，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度的物体,回答这两个问题．

解: (1)若物体原来静止，则

题2-5图

联立，解得a00-1

??g方向向下

???4Fdt??(10?2t)idt?56kg?m?s?1i,沿x轴正

m(2) 2对地加速度为

a2?a??a?g2 方向向上

????p1?v1??5.6m?s?1im???I1??p1?56kg?m?s?1i

m1在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即??'?a绝?a相?a牵

g25a1?a??a?g??g42∴

a1??arctan?arctan?26.6oa?2，左偏上．

?vm2-6一质量为的质点以与地的仰角?=30°的初速0从地面抛

222m?s?1初速，则

?tFt??????p0??mv0,p?m(?v0??dt)??mv0??Fdt0m0于是

t??????p2?p?p0??Fdt??p10,

?????v2??v1,I2?I1

同理，

若物体原来具有?6这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理．

(2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即

出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量． 解: 依题意作出示意图如题2-6图

I??(10?2t)dt?10t?t20t

亦即 t解得

题2-6图

在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下, 而抛物线具有对动量的增量为

2?10t?200?0

t?10s，(t??20s舍去)

2-9 一质量为m的质点在xOy平面上运动，其位置矢量为

y轴对称性，故末速度与x轴夹角亦为30o，则

6

求质点的动量及t＝0 到量和质点动量的改变量． 解: 质点的动量为

t??2??? ?r?acos?ti?bsin?tj

????p?mv?m?(?asin?ti?bcos?tj)

?t?2?分别代入上式，得 将t?0和

????p1?m?bj,p2??m?ai,

则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为

72

2T?(v1?v)2km

v1?v?于是有

将其代入④式，有

2Tkm 2kTm??????I??p?p2?p1??m?(ai?bj)

?1vm?s2-10 一颗子弹由枪口射出时速率为0，当子弹在枪筒内被

加速时，它所受的合力为 F =(a?bt)N(a,b为常数)，其中t以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子

弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量．

解: (1)由题意，子弹到枪口时，有

v2?v?又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取

v1?v?证毕．

2kT2T,v2?v?mkm

F?(a?bt)?0,得

(2)子弹所受的冲量

t?ab

???F?7i?6jN．(1) 当一质点从原点运动到

2-12 设合?????r??3i?4j?16km时，F求所作的功．(2)如果质点到r处

时需0.6s，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg，试求动能的变化．

t1I??(a?bt)dt?at?bt202

?F解: (1)由题知，合为恒力，

∴

at?b将

代入，得

(3)由动量定理可求得子弹的质量

a2I?2b

Ia2m??v02bv0

2-11 一炮弹质量为m，以速率v飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为T，且一块的质量为另一块质量的k倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率分别为

???????A合?F?r?(7i?6j)?(?3i?4j?16k)

??21?24??45J

A45P???75w?t0.6(2)

?Ek?A??45J

(3)由动能定理，

2-13 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1 cm，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同．

解: 以木板上界面为坐标原点，向内为则铁钉所受阻力为

y坐标正向，如题2-13图，

v+

证明: 设一块为

2kTm, v-

2Tkm

题2-13图

m1，则另一块为m2， m1?km2及m1?m2?m

f??ky

1kmmm1?,m2?k?1k?1 于是得

A第一锤外力的功为1

① 又设

m1的速度为v1, m2的速度为v2，则有

1112T?m1v12?m2v2?mv2222A1??f?dy???fdy??kydy?ss0k2②

①

?式中f是铁锤作用于钉上的力，

f是木板作用于钉上的力，在

③

联立①、③解得

dt?0时，f???f． mv?mv?mv1122

A设第二锤外力的功为2，则同理，有

v2?(k?1)v?kv1

②

由题意，有 7

④

将④代入②，并整理得

A2??kydy?1y212kky2?22

72

1kA2?A1??(mv2)?22③

解: (1)设在距月球中心为r处

有

F月引?F地引，由万有引力定律，

12kkky2??22 即 2所以，

于是钉子第二次能进入的深度为

G经整理，得

mM月r2r??GmM地?R?r?2

y2?2

M月M地?M月R

?y?y2?y1?2?1?0.414cm

2-14 设已知一质点(质量为m)在其保守力场中位矢为r点的势

nE(r)?k/rP能为, 试求质点所受保守力的大小和方向．

7.35?1022=

5.98?1024?7.35?1022?3.48?108

dE(r)nkF(r)???n?1drr 解:

?方向与位矢r的方向相反，即指向力心．

k2-15 一根劲度系数为1的轻弹簧A的下端，挂一根劲度系数为

6?38.32?10m

则P点处至月球表面的距离为

h?r?r月?(38.32?1.74)?106?3.66?107m (2)质量为1kg的物体在P点的引力势能为

k2的轻弹簧B，B的下端

一重物C，C的质量为M，如题2-15图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势 能之比． 解: 弹簧

EP??G11M月r?GM地?R?r?

A、B及重物C受力如题2-15图所示平衡时，有

2-17 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为

7.35?10225.98?1024?11??6.67?10??6.67?10?7?38.4?3.83??103.83?10?1.28?106J

m1和m2的滑块组成如题2-17图所示装置，弹簧

m2与桌面间的摩

m1静止于A点，AB＝BC＝h，绳已拉直，

的劲度系数为k，自然长度等于水平距离BC，擦系数为?，最初现令滑块落下

m1,求它下落到B处时的速率．

解: 取B点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功能原理，有

题2-15图

FA?FB?Mg

F?k1?x1

又 A所以静止时两弹簧伸长量之比为

11(m1?m2)v2?[m1gh?k(?l)2]22

式中?l为弹簧在A点时比原长的伸长量，则

??m2gh?联立上述两式，得

?l?AC?BC?(2?1)h

FB?k2?x2

?x1k2??x2k1v?

2?m1??m2?gh?kh2m1?m2?2?1?2

弹性势能之比为

12k?xEp1211k??2Ep21k12k2?x22 m2-16 (1)试计算月球和地球对物体的引力相抵消的一点P，距

月球表面的距离是多少?地球质量5.98×10kg，地球中心到月822

球中心的距离3.84×10m，月球质量7.35×10kg，月球半径1.74

6

×10m．(2)如果一个1kg的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，那么它在P点的势能为多少?

8

24

题2-17图

72

v2-18 如题2-18图所示，一物体质量为2kg，以初速度0＝3m·s

-1

222v?v?v012即

从斜面A点处下滑，它与斜面的摩擦力为8N，到达B点后压缩弹

簧20cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度．

解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原 长处为弹性势能零点。则由功能原理，有

①

12?1?kx??mv2?mgssin37??2?2? 12mv?mgssin37??frs2k?12kx2

式中s?4.8?0.2?5m，x?0.2m，再代入有关数据，解

?frs?得

题2-20图(a) 题2-20图(b) 又碰撞过程中，动量守恒，即有

???mv0?mv1?mv2

???v?v01?v2亦即

②

由②可作出矢量三角形如图(b)，又由①式可知三矢量之间满足勾

k?1390N?m-1

???vvv股定理，且以0为斜边，故知1与2是互相垂直的．

2-21 一质量为m的质点位于(

题2-18图

再次运用功能原理，求木块弹回的高度h?

作用在质点上的力为

, 质点受到一个沿x负方向的力f的作用，求相

对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩． 解: 由题知，质点的位矢为

???v?vxi?vyjx1,y1)处，速度为

???r?x1i?y1j

??f??fi

1?frs??mgs?sin37o?kx22

?代入有关数据，得 s?1.4m,

则木块弹回高度

所以，质点对原点的角动量为

???L0?r?mv ?????(x1i?y1i)?m(vxi?vyj)h??s?sin37?0.84m

作用在质点上的力的力矩为

o??(x1mvy?y1mvx)k

2-22 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆．它离太阳最近距离

题2-19图

2-19 质量为M的大木块具有半径为R的四分之一弧形槽，如题2-19图所示．质量为m的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度．

解: m从M上下滑的过程中，机械能守恒，以m，M，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有

为

???????M0?r?f?(x1i?y1j)?(?fi)?y1fk

10

r1＝8.75×10

m 时的速率是

2

v1＝5.46×10

-1

4

m·s，它离太阳

-1

2多最远时的速率是2＝9.08×10m·s

少?(太阳位于椭圆的一个焦点。)

解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有

vr11mgR?mv2?MV222

又下滑过程，动量守恒，以m,M为系统则在m脱离M瞬间，

水平方向有 联立，以上两式，得

∴

r1mv1?r2mv2

mv?MV?0

v?2MgR?m?M?

r1v18.75?1010?5.46?104r2???5.26?1012m2v29.08?10 ??2-23 物体质量为3kg，t=0时位于r?4im,

??????1v?i?6jm?s，如一恒力f?5jN作用在物体上,求3秒

后，(1)物体动量的变化；(2)相对z轴角动量的变化． 解: (1)

02-20 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞，试证碰后两小球的运动方向互相垂直． 证: 两小球碰撞过程中，机械能守恒，有

??3???p??fdt??5jdt?15jkg?m?s?1

121212mv0?mv1?mv2222

9

(2)解(一)

x?x0?v0xt?4?3?7

72

1215at?6?3???32?25.5j2?2?3?? ?r?4i,r2?7i?25.5j

即 1y?v0yt?vx?v0x?1

?0????r??M1gmr0M1gM1?M23()mr0M125vy?v0y?at?6??3?11??3?? ??v?i1?6j,v2?i?11j

即 1∴

∴

???????转动，转速为900rev·min．现利用一制动的闸杆，在闸杆的一L1?r1?mv1?4i?3(i?6j)?72k

??????端加一竖直方向的制动力F，可使飞轮减速．已知闸杆的尺寸如??L2?r2?mv2?(7i?25.5j)?3(i?11j)?154.5k

?-1

M1?M2M1g??r0?m?M1?M2

2-25 飞轮的质量m＝60kg，半径R＝0.25m，绕其水平中心轴O?????L?L2?L1?82.5kkg?m2?s?1

dzM?dt 解(二) ∵

??t?t??L??M?dt??(r?F)dt∴

300题2-25图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数惯量可按匀质圆盘计算．试求：

=0.4，飞轮的转动

(1)设F＝100 N，问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时间里飞轮转了几转?

(2)如果在2s内飞轮转速减少一半，需加多大的力F?

解: (1)先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b))．图中N、N?是

正压力，

?152???????(4?t)i?(6t?)?t)j??5jdt023????3??5(4?t)kdt?82.5kkg?m2?s?10Fr、Fr?是摩擦力，Fx和Fy是杆在A点转轴处所受支

承力，R是轮的重力，P是轮在O轴处所受支承力．

题2-25图（a）

题2-24图

2-24 平板中央开一小孔，质量为m的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为

M1的重物．小球作匀速圆周运动，当半径为r0M1的下方再挂一质量为M2的物体，如题

题2-25图(b)

杆处于静止状态，所以对则有

时重物达到平衡．今在

2-24图．试问这时小球作匀速圆周运动的角速度??和半径r?为多少?

解: 在只挂重物时

M1，小球作圆周运动的向心力为M1g，即

A点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计，

N??l1?l2Fl1M1g?mr0?0① 挂上

2F(l1?l2)?N?l1?0

M2后，则有

对飞轮，按转动定律有

???FrR/I(M1?M2)g?mr???2r0mv0?r?mv? ?r02?0?r?2??

度?方向相反．

，式中负号表示?与角速

②

重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒． 即 ③

联立①、②、③得

Fr??N N?N?

l?lFr??N???12Fl1∴

∵

又∵

I?1mR2,2

10