72
???∴ ① 以FFrR?2?(l1?l2)?FImRl1
?100N等代入上式，得
??由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为
?2?0.40?(0.50?0.75)40?100??rad?s?260?0.25?0.503
t???0900?2??3??7.06s?60?40
题2-26(a)图 题2-26(b)图
(1)
这段时间内飞轮的角位移为
1900?2?91409?????(?)22604234?53.1?2?rad 可知在这段时间里，飞轮转了53.1转．
2??0?900?rad?s?160(2)，要求飞轮转速在t?2s内减少
???0t??t2?
m1,m2和柱体的运动方程如下：
T2?m2g?m2a2 ① m1g?T1?m1a1 ②
??T1R?T2r?I? ③
式中
一半，可知
?0??2??0tT1??T1,T2??T2,a2?r?,a1?R?I????02t??15?rad?s?22
用上面式(1)所示的关系，可求出所需的制动力为
F???mRl1?2?(l1?l2)而 由上式求得
11MR2?mr222
???2-26 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴
60?0.25?0.50?15?2?0.40?(0.50?0.75)?2?177N
Rm1?rm2gI?m1R2?m2r20.2?2?0.1?2OO?转动．设大小圆柱体的半径分别为R和r，质量分别为Mmmmm和m．绕在两柱体上的细绳分别与物体1和2相连，1和2则挂在圆柱体的两侧，如题2-26图所示．设R＝0.20m, r＝0.10m，m＝4 kg，M＝10 kg，
11?10?0.202??4?0.102?2?0.202?2?0.10222?6.13rad?s?2 (2)由①式 由②式
2-27 计算题2-27图所示系统中物体的加速度．设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为M，半径为r，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设kg,M＝15 kg, r＝0.1 m 解: 分别以
?9T2?m2r??m2g?2?0.10?6.13?2?9.8?20.8N
m1＝m2＝2 kg，且开始时m1，
T1?m1g?m1R??2?9.8?2?0.2.?6.13?17.1N
m1＝50
m2＝200
m2离地均为h＝2m．求：
(1)柱体转动时的角加速度； (2)两侧细绳的张力． 解: 设
kg，
a1,a2和β
分别为1,
方向如图(如图b)．
mm2和柱体的加速度及角加速度，
m1,m2滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示．对
m2g?T2?m2a ① T1?m1a ②
m1,m2运用牛顿定律，有
对滑轮运用转动定律，有
1T2r?T1r?(Mr2)?2③
又， a联立以上4个方程，得
11
?r? ④
72
a?m2gm1?m2?M2?200?9.8?7.6155?200?2m?s?2
解: (1)设小球的初速度为
为?，而小球的速度变为v，按题意，小球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，可列式：
v0，棒经小球碰撞后得到的初角速度mv0l?I??mvl①
121212mv0?I??mv222② 上两式中
I?题2-27(a)图 题2-27(b)图
12Ml3，碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显著的
?30o，按机
角位移；碰撞后，棒从竖直位置上摆到最大角度?械能守恒定律可列式：
12lI??Mg(1?cos30?)22③
由③式得
题2-28图
2-28 如题2-28图所示，一匀质细杆质量为m，长为l，可绕过一端O的水平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下．求： (1)初始时刻的角加速度； (2)杆转过?角时的角速度. 解: (1)由转动定律，有
1212
?3g3??Mgl????(1?cos30?)???(1?)?Il2????由①式
v?v0?④
由②式
I?ml
mg11?(ml2)?23
??∴
(2)由机械能守恒定律，有
3g2lI?2v?v?m220
⑤ 所以
l11mgsin??(ml2)?2223
3gsin???l∴
(v0?求得
I?212)?v0??2mlm
v0??l?Il1M(1?2)?(1?)?223mml6(2?33m?M12mgl
0(2)相碰时小球受到的冲量为
?Fdt??mv?mv?mv由①式求得
题2-29图
2-29 如题2-29图所示，质量为M，长为l的均匀直棒，可绕垂直于棒一端的水平轴O无摩擦地转动，它原来静止在平衡位置
上．现有一质量为m的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞．相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度??30°处．
?Fdt?mv?mv0????I?1??Ml?l3
6(2?3)M6gl
负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反．
(1)设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速(2)相撞时小球受到多大的冲量?
v0的值；
题2-30图
12
72
2-30 一个质量为M、半径为R并以角速度?转动着的飞轮(可看作匀质圆盘)，在某一瞬时突然有一片质量为m的碎片从轮的边缘上飞出，见题2-30图．假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上．
(1)问它能升高多少?
(2)求余下部分的角速度、角动量和转动动能． 解: (1)碎片离盘瞬时的线速度即是它上升的初速度
∴ (2)
??m0v0sin?(m?m0)R
v0?R?
设碎片上升高度h时的速度为v，则有
令v?0，可求出上升最大高度为
2v0122H??R?2g2g 1I?MR22(2)圆盘的转动惯量，碎片抛出后圆盘的转动惯量
1I??MR2?mR22，碎片脱离前，盘的角动量为I?，碎片刚
脱离后，碎片与破盘之间的内力变为零，但内力不影响系统的总角动量，碎片与破盘的总角动量应守恒，即 式中??为破盘的角速度．于是
2v2?v0?2gh
2-32 弹簧、定滑轮和物体的连接如题2-32图所示，弹簧的劲度系
-12
数为2.0 N·m；定滑轮的转动惯量是0.5kg·m，半径为0.30m ，问当6.0 kg质量的物体落下0.40m 时，它的速率为多大? 假设开始时物体静止而弹簧无伸长．
解: 以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统，重物下落的过程中，机械能守恒，以最低点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则有
mvsin?21[(m?m0)R2][00]Ek2(m?m0)Rm0sin2???1Ek0m?m02m0v02121212mv?I??kh222
又 ??v/R
mgh?(2mgh?kh2)k2v?mR2?I故有
I??I????mv0R
得????(角速度不变)
圆盘余下部分的角动量为
11MR2??(MR2?mR2)???mv0R22 11(MR2?mR2)??(MR2?mR2)??22
1(MR2?mR2)?2
(2?6.0?9.8?0.4?2.0?0.42?6.0?0.32?0.5?2.0m?s?1
转动动能为
题2-32图 题2-33图
AC自由转动，如题2-33图所示，其
I?转动惯量为0，环半径为R，初始角速度为0．质量为m的小
2-33 空心圆环可绕竖直轴
题2-31图
Ek?2-31 一质量为m、半径为R的自行车轮，假定质量均匀分布在轮
mv缘上，可绕轴自由转动．另一质量为0的子弹以速度0射入轮缘(如题2-31图所示方向)．
(1)开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值? (2)用m,之比．
11(MR2?mR2)?222
A点，由于微小的干扰，小球向下滑动．设圆环
内壁是光滑的，问小球滑到B点与C点时，小球相对于环的速率
球，原来静置于各为多少?
解: (1)小球与圆环系统对竖直轴的角动量守恒，当小球滑至B点时，有
I0?0?(I0?mR2)?
①
该系统在转动过程中，机械能守恒，设小球相对于圆环的速率为
m0和?表示系统(包括轮和质点)最后动能和初始动能
vB，以B点为重力势能零点，则有
11122I0?0?mgR?(I0?mR2)?2?mvB222 ②
联立①、②两式，得
解: (1)射入的过程对O轴的角动量守恒
Rsin?m0v0?(m?m0)R2?
13
72
22I0?0RvB?2gR?I0?mR23-3 惯性系S′相对另一惯性系S沿x轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计时起点．在S系中测得两事件的时空坐标
分别为1=6×10m,1=2×10s，以及2=12×10m,2=1×-4
10s．已知在S′系中测得该两事件同时发生．试问：(1)S′系相对S系的速度是多少? (2) 少? 解: 设(SI?I0 ∴?c??0
(2)当小球滑至C点时，∵c故由机械能守恒，有
x4
t-4
x4
t1mg(2R)?mvc22
v?2gR
∴ c请读者求出上述两种情况下，小球对地速度．
习题三
3-1 惯性系S′相对惯性系S以速度u运动．当它们的坐标原点O与O?重合时，t=t?=0，发出一光波，此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何?用直角坐标系写出各自观测的波阵面的方程．
解: 由于时间和空间都是均匀的，根据光速不变原理，光讯号为球面波．波阵面方程为：
S?系中测得的两事件的空间间隔是多
?)相对S的速度为v，
(1)
???(t1?t1vx)21c
vx2)c2
??0 t??t1由题意 2???(t2?t2则
故
t2?t1?v(x2?x1)c2
x?y?z?(ct)
x?2?y?2?z?2?(ct?)2
2222v?c2(2)
t2?t1c????1.5?108x2?x12m?s?1
由
洛
仑
兹
变
换
???(x1?vt1),x2???(x2?vt2) x1??5.2?104m x??x1代入数值， 23-4 长度
l0=1 m
S′系中，与x轴的夹角
′
题3-1图
3-2 设图3-4中车厢上观测者测得前后门距离为2l．试用洛仑兹变换计算地面上的观测者测到同一光信号到达前、后门的时间差． 解: 设光讯号到达前门为事件1，在车厢(S
?'=30°，S′系相对S系沿x轴运动，在S系中观测者测得米尺
?与x轴夹角为??45． 试求：(1)S′系和S系的相对运动速
度.(2)S系中测得的米尺长度． 解: (1)米尺相对S?静止，它在x?,y?轴上的投影分别为：
?)系时空坐标为
?L0sin???0.5m??L0cos???0.866mL?Lx，y
米尺相对S沿x方向运动，设速度为v，对S系中的观察者测得米尺在x方向收缩，而
l?,t1?)?(l,)(x1c，在车站(S)系：
ulu?lu??2x1?)??(?2l)?(1?)t1??(t1cccc c?光信号到达后门为事件2，则在车厢(S)系坐标为
l?,t2?)?(?l,)(x2c，在车站(S)系：
u?lu??2x2?)?(1?)t2??(t2cc c?lut2?t1??22c 于是
或
y方向的长度不变，即
故
v2?1?2,Ly?L?Lx?Lxyc
tan??LyLx?L?yLx?L?yv2?1?2Lxc
把??,L?y?45ο及Lx代入
??x2??2l ?t??0,?t?t1?t2,?x??x1?t??(?t??uu??x)??(2l)22cc
v20.51?2?0.866 c则得
者
故 v?0.816c
(2)在S系中测得米尺长度为
L?Lysin45??0.707m
14
72
ll3-5 一门宽为a，今有一固有长度0(0＞a)的水平细杆，在门
外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动．若站在门外的观察者认少为多少?
为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率u至
(1)∴
?t???(?t?v?x)???tc21v1?()2c?t
ul?l01?()2c解: 门外观测者测得杆长为运动长度，
，当
1?aa?l0时，可认为能被拉进门，
解则
?
v2?t41?2????t5 c出
u1?()2cv?c1?(
au?c1?()2l0解得杆的运动速率至少为：
?t243)?c1?()2?c?t?55
?1.8?108 m?s?1
?t?5?,?x?0?t4
(2)
?x?????x?v?t?,??∴
题3-6图
3-6两个惯性系中的观察者O和O?以0.6c(c表示真空中光速)的相对速度相互接近，如果O测得两者的初始距离是20m，则O?测
得两者经过多少时间相遇? 解: O测得相遇时间为?t
5345??0． x??x1负号表示2?x????v?t???c?4??3c??9?108m
3-8 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少? 解:
L20?t?0?v0.6c
O? 测得的是固有时?t?
L01??2?t????v∴
?t?8?8.89?10s，
3l??3?l01??2?51??2,则?1??25
94v?1?c?c255 ∴
3-9 论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同地点，在有相对运动的其他惯性系中，这两个事件一定不同时． 证: 设在
??v?0.6c ， 1??0.8 ，
Lv
S系A、B事件在a,b处同时发生，则
?x?xb?xa,?t?tA?tB，在S?系中测得
??t??t?B?tA??(?t?v?x)2c
? ?t?0,?x?0，
或者，O?测得长度收缩，
L?L01??2?L01?0.62?0.8L0,?t??0.8L00.8?20??8.89?10?8s80.6c0.6?3?10
3-7 观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系S和S?中，甲测得在
?t???t??0 ∴
即不同时发生． 3-10 试证明：
(1)如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的时间间隔，只有在此惯性系中最短．
(2)如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，则对一切惯性关系来说这两个事件的空间间隔，只有在此惯性系中最短． S?系中，两事件A、B在同一地点发生，则
?x??0，在S系中，?t???t???t?，仅当v?0时，等式成立，∴?t?最短．
(2)若在S?系中同时发生，即?t??0，则在S系中，?x???x???x?，仅当v?0时等式成立，∴S?系中?x?最
解: (1)如果在
短．
3-11 根据天文观测和推算，宇宙正在膨胀，太空中的天体都远离我们而去．假定地球上观察到一颗脉冲星(发出周期无线电波的星)的脉冲周期为 0.50s，且这颗星正沿观察方向以速度0.8c离我们而去．问这颗星的固有周期为多少? 15
同一地点发生的两事件的时间间隔为 4s，而乙测得这两个事件的时间间隔为 5s．求：
(1) S?相对于S的运动速度．
(2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离． 解: 甲测得
?t?4s,?x?0,乙测得?t?5s，坐标差为
??x1?′ ?x??x2