72

y?0.1cos(5?t?m

如题5-11(c)图所示．

5??0.53??)?0.1cos(5?t??)0.525-12 如题5-12图所示，已知t=0时和t=0.5s时的波形曲线分别

为图中曲线(a)和(b) ，波沿x轴正向传播，试根据图中绘出的条

件求：

(1)波动方程； (2)P点的振动方程．

解: (1)由题5-12图可知，A?0.1m，?

题5-13图 (2)由图知，t?4m，又，t?0???0y0?0,v0?0，∴2，而时，

?x1u2u???2????0.5m?s?1，?t0.5?4Hz，∴

??2????

故波动方程为

?0时，

点的位相应落后于0点，故取负值)

yP??A?4?,vP?0?P?23(P，∴

x?y?0.1cos[?(t?)?]22m

4yp?0.1cos(10?t??)3 ∴P点振动方程为

x?410?(t?)?|t?0???1033 (3)∵

5x??1.673m ∴解得

(4)根据(2)的结果可作出旋转矢量图如题5-13图(a)，则由P点

回到平衡位置应经历的位相角

x?1m代入上式，即得P点振动方程为 (2)将P??y?0.1cos[(?t??)]?0.1cos?t22 m

题5-13图(a)

??? ∴所属最短时间为

题5-12图

?3??5??26

?t?????t=0时的波形如题5-13图所示，5-13 一列机械波沿x轴正向传播，

-1

已知波速为10 m·s ，波长为2m，求： (1)波动方程；

(2) P点的振动方程及振动曲线； (3) P点的坐标；

(4) P点回到平衡位置所需的最短时间．

5-14 如题5-14图所示，有一平面简谐波在空间传播，已知P点的

0)． 振动方程为P=Acos(

(1)分别就图中给出的两种坐标写出其波动方程；

5?/61?10?12s

y?t??(2)写出距P点距离为b的Q点的振动方程．

解: (1)如题5-14图(a)，则波动方程为

解: 由题5-13图可知

A?0.1m，t?0时，

y0?A,v0?02，

y?Acos[?(t?如图(b)，则波动方程为

lx?)??0]uu

3，由题知??2m，

u10????5?1u?10m?s，则?2Hz

??10? ∴ ??2?∴

(1)波动方程为

题5-14图

?0??

y?01.cos[10?(t?x?)?]103m

xy?Acos[?(t?)??0]u

(2) 如题5-14图(a)，则Q点的振动方程为

26

72

bAQ?Acos[?(t?)??0]u

如题5-14图(b)，则Q点的振动方程为

bAQ?Acos[?(t?)??0]u

5-15 已知平面简谐波的波动方程为

y?Acos?(4t?2x)(SI)．

(1)写出t=4.2 s时各波峰位置的坐标式，并求此时离原点最近一

个波峰的位置，该波峰何时通过原点? (2)画出t=4.2 s时的波形曲线． 解:(1)波峰位置坐标应满足

?(4t题5-16图

则波动方程为

tx?y?0.2cos[2?(?)?]242

5-17 一平面余弦波，沿直径为14cm的圆柱形管传播，波的强度为

-3-2-1-1

18.0×10J·m·s，频率为300 Hz，波速为300m·s，求 ： (1)波的平均能量密度和最大能量密度? (2)两个相邻同相面之间有多少波的能量? 解: (1)∵ I∴

?2x)?2k?

解得 x?(k?8.4) m (k?0,?1,?2,…)

所以离原点最近的波峰位置为?0.4m．

?x4?t?2?t??t?u 故知u?2m?s?1, ∵

?0.4?t???0.2s，这就是说该波峰在0.2s前通过原2∴

点，那么从计时时刻算起，则应是4.2?0.2?4s，即该波峰是在4s时通过原点的．

?wu

I10?3w??18.0??6?10?5J?m?3 u300wmax?2w?1.2?10?4J?m?3

题5-15图

11uW??V?w?d2??w?d244? (2)

1300?6?10?5???(0.14)2??9.24?104300J

SSA5-18 如题5-18图所示，1和2为两相干波源，振幅均为1，

?1?1??4?,u?2m?s?m，又(2)∵，∴

x?0处，t?4.2s时，

?0?4.2?4??16.8?

y0?Acos4??4.2??0.8A

??17?，则应有

又，当y??A时，x??uT?u2???SS相距4，1较2位相超前2，求： S(1) 1外侧各点的合振幅和强度；

(2)

S2外侧各点的合振幅和强度

S1外侧，距离S1为r1的点，S1S2传到该P点引起

???解：（1）在的位相差为

?0.1m，故t?4.2s时的波形图如题5-15图所示

5-16 题5-16图中(a)表示t=0时刻的波形图，(b)表示原点(x=0)处质元的振动曲线，试求此波的波动方程，并画出x=2m处质元的

解得 x振动曲线．

解: 由题5-16(b)图所示振动曲线可知T?2s,A?0.2m，

y?0,v0?0，

且t?0时，0 16.8??2?x?17?

2????r?(r?)???11?2??4?

2A?A1?A1?0,I?A?0

SSrSS（2）在2外侧.距离2为1的点，12传到该点引起的位相

?差.

?故知

?0???2,再结合题

5-16(a)图所示波动曲线可知，该列波

2?4

22A?A1?A1?2A1,I?A?4A1

5-19 如题5-19图所示，设B点发出的平面横波沿BP方向传播，

它在B点的振动方程为

?????2?(r2???r2)?0沿x轴负向传播，

y1?2?10?3cos2?t;C点发出的平

txy?Acos[2?(?)??0]T?且??4m，若取

面横波沿CP方向传播，它在C点的振动方程为

y2?2?10?3cos(2?t??)，本题中y以m计，t以s计．设

BP＝0.4m，CP＝0.5 m，波速u=0.2m·s

(1)两波传到P点时的位相差；

27

-1

，求：

72

(2)当这两列波的振动方向相同时，P处合振动的振幅； *(3)当这两列波的振动方向互相垂直时，P处合振动的振幅．

?2???5??????342? 解: (1)

???(?2??1)?2?，因只考虑2?以内的位相角，∴反

?(CP?BP)

????射波在O点的位相为

?2，故反射波的波动方程为

x?y反?Acos[2??(t?)?]u2

此时驻波方程为

u 2????(0.5?0.4)?00.2

(CP?BP)

题5-19图

(2)P点是相长干涉，且振动方向相同，所以

(3)若两振动方向垂直，又两分振动位相差为0，这时合振动轨迹

是通过Ⅱ，Ⅳ象限的直线，所以合振幅为

x?x?y?Acos[2??(t?)?]?Acos[2??(t?)?]u2u2

2??x??2Acoscos(2??t?)u2

故波节位置为

AP?A1?A2?4?10?3m

2??x2???x?(2k?1)?2 ux?(2k?1)?

4 (k?0,?1,?2,…) 132A?A12?A2?2A1?22?10?3?2.83?10?3x??,?44 根据题意，k只能取0,1，即m

5-20 一平面简谐波沿x轴正向传播，如题5-20图所示．已知振幅5-20 一驻波方程为y=0.02cos20xcos750t(SI)，求：

(1)形成此驻波的两列行波的振幅和波速； 为A，频率为?波速为u．

(2)相邻两波节间距离．

(1)若t=0时，原点O处质元正好由平衡位置向位移正方向运动， 解: (1)取驻波方程为

故

写出此波的波动方程；

(2)若从分界面反射的波的振幅与入射波振幅相等，试写出反射波的波动方程，并求x轴上 因入射波与反射波干涉而静止的各点的位置． 解: (1)∵t程为

y?2Acos

2??xcos2??tu

?0时，y0?0,v0?0，∴

?0???2故波动方

A?故知

0.02?0.012m

x?y?Acos[2?v(t?)?]u2m

2???750，则

u???7502???202?， u

∴

2??2??750/2???37.5m?s?1 2020u2??/20????0.1??0.314??m所以相邻两波节(2)∵

间距离

?x?题5-20图

?2?0.1575-22 在弦上传播的横波，它的波动方程为

m

x?(2)入射波传到反射面时的振动位相为(即将

3?4y1=0.1cos(13t+0.0079x) (SI)

代

试写出一个波动方程，使它表示的波能与这列已知的横波叠加形成驻波，并在x=0处为波 节． 解: 为使合成驻波在x入射波有?的位相差，故反射波的波动方程为

3??????42，再考虑到波由波疏入射而在波密界面上反入)

射，存在半波损失，所以反射波在界面处的位相为

2??0处形成波节，则要反射波在x?0处与

3??????????42

若仍以O点为原点，则反射波在O点处的位相为

?2?5-23 两列波在一根很长的细绳上传播，它们的波动方程分别为

y2?0.1cos(13t?0.0079x??)

y1=0.06cos(?x?4?t)(SI), y2=0.06cos(?x?4?t)(SI)．

(1)试证明绳子将作驻波式振动，并求波节、波腹的位置； 28

(2)波腹处的振幅多大?x=1.2m处振幅多大? 解: (1)它们的合成波为

?0.12cos?xcos4?t

出现了变量的分离，符合驻波方程特征，故绳子在作驻波振动． 令?x72

6-2 气体动理论的研究对象是什么?理想气体的宏观模型和微观模型各如何?

答：气体动理论的研究对象是大量微观粒子组成的系统．是从物质的微观结构和分子运动论出发，运用力学规律，通过统计平均的办法，求出热运动的宏观结果，再由实验确认的方法．

从宏观看，在温度不太低，压强不大时，实际气体都可近似地当作理想气体来处理，压强越低，温度越高，这种近似的准确度越高．理想气体的微观模型是把分子看成弹性的自由运动的质点． 6-3 何谓微观量?何谓宏观量?它们之间有什么联系?

答：用来描述个别微观粒子特征的物理量称为微观量．如微观粒子(原子、分子等)的大小、质量、速度、能量等．描述大量微观粒子(分子或原子)的集体的物理量叫宏观量，如实验中观测得到的气体体积、压强、温度、热容量等都是宏观量．

气体宏观量是微观量统计平均的结果． 6-4 计算下列一组粒子平均速率和方均根速率? y?0.06cos(?x?4?)?0.06cos(?x?4?t)

?k?，则x?k，k=0,±1，±2…此即波腹的位置；

?1?x?(2k?1)x?(2k?1)2,则2，k?0,?1,?2,…，令

此即波节的位置．

(2)波腹处振幅最大，即为0.12m；x定，即

?1.2m处的振幅由下式决

A驻?0.12cos(??1.2)?0.0975-24 汽车驶过车站时，车站上的观测者测得汽笛声频率由1200Hz

-1

变到了1000 Hz，设空气中声速为330m·s，求汽车的速率．

m

Ni Vi(m?s?1) 解：平均速率 21 10.0 4 20.0 6 30.0 8 40.0 2 50.0 v解: 设汽车的速度为s，汽车在驶近车站时，车站收到的频率为 u?1??0u?vs

u?2??0u?vs

汽车驶离车站时，车站收到的频率为

联立以上两式，得

V???NV?Niii

21?10?4?20?6?30?8?40?2?5021?4?6?8?2890??21.7 m?s?1

41?1?um?s?1

?1??21200?1000?300??30?1??21200?100-1

-1

方均根速率

V2??NV?Nii2i5-25 两列火车分别以72km·h和54 km·h的速度相向而行，第

-1

一列火车发出一个600 Hz的汽笛声，若声速为340 m·s，求第二列火车上的观测者听见该声音的频率在相遇前和相遇后分别是多少?

解: 设鸣笛火车的车速为为

21?102?4?202?6?103?8?40?21?4?6?8?2?25.6 m?s?1

6-5 速率分布函数（1）

v1?20m?s?1，接收鸣笛的火车车速

f(v)的物理意义是什么?试说明下列各量的物

两车相遇之后收到的频率为

v2?15m?s?1，则两者相遇前收到的频率为

u?v2340?15?1??0??600?665u?v1340?20Hz

u?v2340?15?1??0??600?541u?v1340?20理意义(n为分子数密度，N为系统总分子数)．

f(v)dv （2）nf(v)dv （3）

Nf(v)dv

（4）

?v0f(v)dv （5）?f(v)dv （6）

0??

v2v1Nf(v)dv

Hz

习题六

6-1 气体在平衡态时有何特征?气体的平衡态与力学中的平衡态有何不同?

答：气体在平衡态时，系统与外界在宏观上无能量和物质的交换；系统的宏观性质不随时间变化．

力学平衡态与热力学平衡态不同．当系统处于热平衡态时，组成系统的大量粒子仍在不停地、无规则地运动着，大量粒子运动的平均效果不变，这是一种动态平衡．而个别粒子所受合外力可以不为零．而力学平衡态时，物体保持静止或匀速直线运动，所受合外力为零．

29

f(v)：表示一定质量的气体，在温度为T的平衡态时，分布在速率v附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比. (1) f(v)dv：表示分布在速率v附近，速率区间dv内的分子数

解：

占总分子数的百分比.

(2) nf(v)dv：表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数密度． (3) Nf数． (4)

v0(v)dv：表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子

?f(v)dv：表示分布在v1~v2区间内的分子数占总分子数

的百分比．

72

(5)

??0f(v)dv：表示分布在0~?的速率区间内所有分子，其

与总分子数的比值是1. (6)

?v2v1Nf(v)dv：表示分布在v1~v2区间内的分子数.

6-6 最概然速率的物理意义是什么?方均根速率、最概然速率和平均速率，它们各有何用处?

答：气体分子速率分布曲线有个极大值，与这个极大值对应的速率叫做气体分子的最概然速率．物理意义是：对所有的相等速率区间而言，在含有vP的那个速率区间内的分子数占总分子数的百分比最大．

分布函数的特征用最概然速率vP表示；讨论分子的平均平动动能用方均根速率，讨论平均自由程用平均速率．

6-7 容器中盛有温度为T的理想气体，试问该气体分子的平均速度是多少?为什么?

答：该气体分子的平均速度为0.在平衡态，由于分子不停地与其他分子及容器壁发生碰撞、其速度也不断地发生变化，分子具有各种可能的速度，而每个分子向各个方向运动的概率是相等的，沿各个方向运动的分子数也相同．从统计看气体分子的平均速度是0. 6-8 在同一温度下，不同气体分子的平均平动动能相等，就氢分子和氧分子比较，氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的速率一定比氧分子大，对吗?

答：不对，平均平动动能相等是统计平均的结果．分子速率由于不停地发生碰撞而发生变化，分子具有各种可能的速率，因此，一些氢分子的速率比氧分子速率大，也有一些氢分子的速率比氧分子速率小．

6-9 如果盛有气体的容器相对某坐标系运动，容器内的分子速度相对这坐标系也增大了， 温度也因此而升高吗?

答：宏观量温度是一个统计概念，是大量分子无规则热运动的集体表现，是分子平均平动动能的量度，分子热运动是相对质心参照系的，平动动能是系统的内动能．温度与系统的整体运动无关．只有当系统的整体运动的动能转变成无规则热运动时，系统温度才会变化．

6-10 题6-10图(a)是氢和氧在同一温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条代表氢?题6-10图(b)是某种气体在不同温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条的温度较高?

答：图(a)中(1)表示氧，(2)表示氢；图(b)中(2)温度高．

Mii3（5）RT （6）RT RT

Mmol222解：(1)在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自

1由度上的能量均为kT．

23(2)在平衡态下，分子平均平动动能均为kT.

2i(3)在平衡态下，自由度为i的分子平均总能量均为kT.

2(4)由质量为M，摩尔质量为Mmol，自由度为i的分子组成的

Mi系统的内能为RT.

Mmol2i(5) 1摩尔自由度为i的分子组成的系统内能为RT.

23(6) 1摩尔自由度为3的分子组成的系统的内能RT，或者说热

23力学体系内，1摩尔分子的平均平动动能之总和为RT.

2（4）6-14 有两种不同的理想气体，同压、同温而体积不等，试问下述各量是否相同?

(1)分子数密度；(2)气体质量密度；(3)单位体积内气体分子总平动动能；(4)单位体积内气体分子的总动能． 解：(1)由(2)由?(3)由n(4)由np?nkT,n?pkT知分子数密度相同；

?MMmolp知气体质量密度不同； ?VRT3kT知单位体积内气体分子总平动动能相同； 2ikT知单位体积内气体分子的总动能不一定相同． 2 题6-10图

6-11 温度概念的适用条件是什么?温度微观本质是什么?

答：温度是大量分子无规则热运动的集体表现，是一个统计概念，对个别分子无意义．温度微观本质是分子平均平动动能的量度． 6-12 下列系统各有多少个自由度： (1)在一平面上滑动的粒子；

(2)可以在一平面上滑动并可围绕垂直于平面的轴转动的硬币； (3)一弯成三角形的金属棒在空间自由运动． 解：(1) 2，(2)3，(3)6

6-13 试说明下列各量的物理意义． （1）

6-15 何谓理想气体的内能?为什么理想气体的内能是温度的单值函数?

解：在不涉及化学反应，核反应，电磁变化的情况下，内能是指分子的热运动能量和分子间相互作用势能之总和．对于理想气体不考虑分子间相互作用能量，质量为M的理想气体的所有分子的热运动能量称为理想气体的内能．

由于理想气体不计分子间相互作用力，内能仅为热运动能量之总和．即

E?MiRT是温度的单值函数．

Mmol26-16 如果氢和氦的摩尔数和温度相同，则下列各量是否相等，为什么?

(1)分子的平均平动动能；(2)分子的平动动能；(3)内能． 解：(1)相等，分子的平均平动动能都为(2)不相等，因为氢分子的平均动能

3kT． 213ikT （2）kT （3）kT 22230

5kT，氦分子的平均动能23kT． 2