72

A??A????2V0V02V0v02V0v0pdV

2V0RTRT0dV??VdVV0V2VV0(1)热机效率；

(2)若低温热源不变，要使热机效率提高到80%，则高温热源温度需提高多少?

(3)若高温热源不变，要使热机效率提高到80%，则低温热源温度

需降低多少?

RT0RTdV?02V02??1?

解：(1)卡诺热机效率

T2T1

7-16 某理想气体的过程方程为膨胀到2．求其所做的功． 解：气体作功

Vp1/2?a,a为常数，气体从V1??1?V(2)低温热源温度不变时，若

V2300?7000

A??pdVv1??1?

300?80%T1

A??V2V17-17 设有一以理想气体为工质的热机循环，如题7-17图所示．试证其循环效率为

a2a2V2121dV?(?)?a(?)VV2V?11V1V2

要求 1K，高温热源温度需提高500(3)高温热源温度不变时，若

T?1500K

答：等体过程

吸热

V1?1V??1??2p1?1p2

T2?8000

T?200K，低温热源温度需降低100K 要求 2??1?7-19 如题7-19图所示是一理想气体所经历的循环过程，其中

AB和CD是等压过程，BC和DA为绝热过程，已知B点和CTT点的温度分别为2和3．求此循环效率．这是卡诺循环吗?

??1????CV(T2?T1)Q1

解：(1)热机效率

Q2Q1

p1V2p2V1?)RR

Q??0

绝热过程 3??CV(Q1?Q1等压压缩过程

放热

???CP(T2?T1) AB等压过程 Q1MQ1?CP(TB?TA)Mmol吸热

??vCP(T2?T1) CD等压过程 Q2

放热

???Cp(T2?T1)Q2??Q2??Q2????CP(T2?T1)Q2?Q2

pVpV?CP(21?22)RR

Q??1?2Q1

循环效率

C(pV?pV)Q??1?2?1?p2122Q1CV(p1V2?p2V2)MCP(TC?TD)Mmol

根据绝热过程方程得到

??1????1??pT?pTD AADAD绝热过程

??1??1??1??BC绝热过程 pBTB?pCTCQ2TC?TDTC(1?TD/TC)??Q1TB?TATB(1?TA/TB)

又

??1??(?1/?2?1)(p1/p2?1)pA?pB

pC?pDTDT?TCTB

??1?题7-17图 题7-19图

7-18 一卡诺热机在1000 K和300 K的两热源之间工作，试计算

36

(2)不是卡诺循环，因为不是工作在两个恒定的热源之间．

7-20 （1）用一卡诺循环的致冷机从7℃的热源中提取1000 J的热量传向27℃的热源，需要多少功?从-173℃向27℃呢?

(2)一可逆的卡诺机，作热机使用时，如果工作的两热源的温度差愈大，则对于作功就愈有利．当作致冷机使用时，如果两热源 的温度差愈大，对于致冷是否也愈有利?为什么? 解：(1)卡诺循环的致冷机

T3T272

e?

Q2T2?A静T1?T27℃→27℃时，需作功

p3p2?T3?2等体过程 3T2T2p?2T3p3

T1?T2300?280Q2??1000?71.4 T2280Vp J S2?S1?CPln2?CVln2V1p1?173℃→27℃时，需作功

A1?A2?T2p?2Tp1 3

pV?p2V2 T1?T2300?100在1?2等温过程中 11Q2??1000?2000所以 T2100VVVJ S2?S1?CPln2CVln2?Rln2?Rln2(2)从上面计算可看到，当高温热源温度一定时，低温热源温度越V1V1V1

低，温度差愈大，提取同样的热量，则所需作功也越多，对致冷是

1?4?2熵变

不利的．

4dQ2dQ7-21 如题7-21图所示，1 mol双原子分子理想气体，从初态

S2?S1????1T4TV1?20L,T1?300K经历三种不同的过程到达末态 V2?40L,T2?300K． 图中1→2为等温线，1→4为绝热线，

4→2为等压线，1→3为等压线，3→2为等体线．试分别沿这三种

过程计算气体的熵变．

S2?S1?0??T2CpdTTT4?CplnT2T?Cpln1T4T4 1?4绝热过程

??1??1题7-21图

解：1?2熵变 等温过程 dQ?dA, dA?

T1V4??1T1V1?T4V4???1T4V1

Vppp1V1??p4V4?,4?(1)1/??(1)1/?V1p4p2pV?p2V2

在1?2等温过程中 11pdV

pV?RT 2dQ1V2RT1S2?S1????dV1TT1V1VV4ppV?(1)1/??(1)1/??(2)1/?V1p4p2V1

T1V?(2)T4V1

??1?

S2?S1?RlnV2?Rln2?5.76V!S2?S1?CPln

T1??1?CPlnT4?7-22 有两个相同体积的容器，分别装有1 mol的水，初始温度分别为

1?2?3熵变

J?K?1

S2?S1??3T1和T2，T1＞T2，令其进行接触，最后达到相同温度T．求

1

dQ2dQ??3TT

熵的变化，(设水的摩尔热容为Cmol)．

解：两个容器中的总熵变

S?S0??S2?S1??T3CpdTTT1??CVdTTT?Cpln3?CVln2T3TT1T31?3等压过

T2TCCmoldTdT??molT1T2TTT

TTT2 ?Cmol(ln?ln)?CmollnT1T2T1T2程

因为是两个相同体积的容器，故

V1V2?p1?p3 T1T3

Cmol(T?T2)?Cmol(T1?T)

T3V2?TV1 1

T?得

37

T2?T12

72

(T2?T1)2S?S0?Cmolln4T1T2

7-23 把0℃的0.5kg的冰块加热到它全部溶化成0℃的水，问：

(1)水的熵变如何?

(2)若热源是温度为20 ℃的庞大物体，那么热源的熵变化多大? (3)水和热源的总熵变多大?增加还是减少?(水的熔解热)

解：(1)水的熵变

解得

q?2lsin?4??0mgtan?E?q

??334J?g?18-3 根据点电荷场强公式，当被考察的场点距源点电荷很近(r→0)时，则场强→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解?

解: 仅对点电荷成立，当r?0时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形 状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大．

8-4 在真空中有

4??0r2?E?q4π?0r2?r0?S1?(2)热源的熵变

Q0.5?334?10??612T2733J?K?1

Q?0.5?334?103?S2????570T293 J?K

(3)总熵变

?1A，B两平行板，相对距离为d，板面积为S，

其带电量分别为+q和-q．则这两板之间有相互作用力f，有人

q2说

f24??d0=

,又有人说，因为

f=qE,

E?q?0S，所以

?S??S1??S2?612?570?42

J?K?1熵增加

8-1 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示

习题八

．试问这两种说法对吗?为什么? f到底应等于多少?

解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷

q2f=?0SE?是不对的，第二种说法把合场强看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为

q?0SE?q2?0S，另一板受它的作用力

是两板间相互作用的电场力．

q2f?q?2?0S2?0Sq，这

A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q?为负电荷

1q21qq?2cos30??4π?0a24π?032(a)3 3q???q3解得

(1) 以

(2)与三角形边长无关．

题8-1图 题8-2图

8-2 两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2?,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量． 解: 如题8-2图示

??p?ql8-5 一电偶极子的电矩为，场点到偶极子中心O点的距离

??为r,矢量r与l的夹角为?,(见题8-5图)，且r??l．试证PEE点的场强E在r方向上的分量r和垂直于r的分量?分别为

pcos?psin?Er=2??0r3, E?=4??0r3

??p所示，将分解为与r平行的分量psin?．

证: 如题8-5于r的分量

?和垂直

psin?∵ r∴ 场点P在r方向场强分量

??l

pcos?2π?0r3psin?4π?0r3Er?垂直于r方向，即?方向场强分量

E0?

Tcos??mg??q2?Tsin??F?1e?4π?0(2lsin?)2?

38

72

题8-5图 题8-6图 8-6 长l=15.0cm

AB上均匀地分布着线密度

-1

dq??dl?R?d?，它在O点产生场强大小为

题8-7图

?=5.0x10-9C·m

线B端相距

(1)在导线的延长线上与导

a1=5.0cm处P点的场强；(2)在导线的垂直平分线上

d

与导线中点相距2=5.0cm 处Q点的场强．解： 如题8-6图所示

dE??Rd?4π?0R2方向沿半径向外

(1)在带电直线上取线元dx，其上电量dq在P点产生场强为

dEx?dEsin??则

1?dxdEP?4π?0(a?x)2l2l?2?sin?d?4π?0R

dEy?dEcos(???)??dxEP??dEP?4π?0?(a?x)2?11?[?]ll4π?0a?a?2?用l得

积分

Ex???0??sin?d??4π?0R2π?0R

Ey???0??cos?d?4π?0R

?l2

π?0(4a2?l2)

E?Ex?∴

?2π?0R，方向沿x轴正向．

??cos?d??04π?0R

?15cm，??5.0?10?9C?m?1, a?12.5cm代入

EP?6.74?10N?C?1方向水平向右

1?dxdEQ?4π?0x2?d22 方向如题8-6图所示

8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为l，总电量为q．(1)求这正方形轴线上离中心为r处的场强E；(2)证明：在r它相当于点电荷q产生的场强E．

2??l处，

(2)同理

q?dEP方

解: 如8-8图示，正方形一条边上电荷4在P点产生物强

向如图，大小为

由于对称性

?dElQx?0，即

?EQ只有

y分量，

d2x2?d22

dEQy∵

1?dx?4π?0x2?d22EQy??dEQyld??24π?2?l2l?2dx(x?d)22232?以?得

?l2π?0l2?4d22

l24π?0r?4l2cos?1?l22r?2 ∵

2dEP???cos?1?cos?2?

?5.0?10?9C?cm?1, l?15cm,d2?5cm代入

EQ?EQy?14.96?102N?C?1处O点的场强． 解: 如8-7图在圆上取

，方向沿

y轴正向

8-7 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为?,求环心

cos?2??cos?1 ?ldEP?l2l2224π?0r?r?42 ∴

?dEP在垂直于平面上的分量dE??dEPcos?

dl?Rd?

39

72

dE??4π?0∴

?ll2l22r?r?4222rl2r?4

题8-9(a)图 题8-9(b)图 题8-9(c)图 (3)∵通过半径为

R的圆平面的电通量等于通过半径为

R2?x2

题8-8图

由于对称性，P点场强沿OP方向，大小为

的球冠面的电通量，球冠面积*

S?2π(R2?x2)[1?∴

xR?x22]

EP?4?dE??4?lr4π?0(r2?ll)r2?4222??q0S?04π(R2?x2)?q1?2?0[

?xR2?x2]

*关于球冠面积的计算：见题8-9(c)图

q??4l ∵

qrEP?2l222l4π?0(r?)r?42 方向沿OP ∴

8-9 (1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电

荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多平面．q在该平面轴线上的

少?*(3)如题8-9(3)图所示，在点电荷q的电场中取半径为R的圆

S??2πrsin??rd?0

?2πr2?sin??d?0?8-10 均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2×

?2πr(1?cos?)

10?5C·m

-3

2求距球心5cm，8cm ,12cm 各点的场强．

解: 高斯定理

???q2E?dS?E4πr??s?q?0

?0,

A点处，求：通过圆平面的电通

??arctan量．(

Rx)

s

解: (1)由高斯定理

??q?E?dS?q6?0?0立方体六个面，当q在立方体中心时，每个面上电通量相等

q?0E?0当r?5cm时，?,

4π3?p3q?r)(r?内r?8cm时，3 4π2???r3?r内3E?24π?r?3.48?104N?C?1， 方向0∴

沿半径向外．

??e?∴ 各面电通量

．

q???r?12cm时,

?e?q6?04π33r(r?3外内）

(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a的立方体，使q处于

?E?∴

向外. 8-11 半径为

边长2a的立方体中心，则边长2a的正方形上电通量 对于边长a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则

q?e?24?0，

4π33r外?r内43?4.10?10?14π?0r2 N?C??

沿半径

R1和R2(R2＞R1)的两无限长同轴圆柱面，单位

R1；(2) R1＜r＜

长度上分别带有电量?和-?,试求:(1)r＜

??0．

如果它包含q所在顶点则e如

题

8-9(a)

图

所

示

．

题

8-9(3)

图

R2；(3) r＞R2处各点的场强．

???q?E?dS?s解: 高斯定理

?0

取同轴圆柱形高斯面，侧面积S则

40

对(1)

S?2πrl ???E?dS?E2πrl

r?R1

?q?0,E?0