第六章、定积分的应用
第一节、定积分的元素法
第二节、定积分在几何学上的应用 重点：1、应用元素法的条件及步骤 条件 1）、U是与一个变量x的变化区间【a，b】有关的量； 2）、U对于区间【a，b】具有数量可加性； 3）、部分量?Uif(?i)?xi，其中f(x)为区间【a，
b】上
的一直连续函数，则可考虑用定积分来计算这个量U； 步骤 1）、选取一个变量如x为积分变量，确定它的变化区间【a，b】； 2）、把区间【a，b】分成n个小区间，取其中任一小区间为【x，x+dx】， 求出相应的?U的近似值记作dU=f(x)dx；
3）、作积分U=?a。 2、1）、计算平面图形的面积时，一般要画出大体图形来选择坐标系； 2）、计算去边梯形绕坐标轴旋转形成的旋转体体积时，可利用切片 法； 3）、计算曲线的弧长时，主要是根据曲线的方程，选择相应的公式 写出弧微分ds，继而求出弧长； 4）、计算旋转体的侧面积时，需注意是绕哪个轴旋转，若是绕x轴 旋转，只要代入上面所给的公式；若是绕y轴旋转，则要根据 上面稍作改变即可。 例题：
x22bf(x)dx1、求椭圆a?yb22?1所围成的图形的面积。（张静）
解：该椭圆关于两坐标轴都对称，所以椭圆围成的图形的面积为4A1
其中A1为该椭圆第一象限部分与两坐标轴围成图形的面积， 因此
利用椭圆的参数方程
0A?4A1?4?ydxa???x?acost,y?bsint?0?t??2??，
应用定积分换元法，令x=acos t，则
y?bsint,dx??asintdt.
?当x由0变到a时，t由2变到0，所以
A?4??bsint(?asint)dt??4ab??sintdt?4ab?2sintdt?4ab?22000?2212??2??ab
2
当a=b时，就得到大家所熟悉的媛面积公式A??a。
x222、计算由椭圆a?yb22?1所围成的图形绕x轴旋转一周形成的旋转体的体积。
（张静）
解：这个椭圆球体也可看做是由半个椭圆
及x轴围成的图形绕x轴旋转一周而成的立体。 取x为积分变量，它的变化区间为【—a，a】。旋转椭球体中相应于【—a，a】上
by?baa?b22 任一小区间【x，x+dx】的薄片的体积，近似于底半径为a为dx的
扁圆柱体的体积，及体积元素
dV?a?b22、高
?ba22(a?x)dx22
于是所求旋转椭球体的体积为
23b?2x?4222V???2(a?b)dx??2?ax???ab.??aaa?3??a3
ab2a4当a=b时，旋转椭球体就称为半径为a的球体，它的体积为3
3.求由下列各组曲线所围成的图形的面积：(王倩) y=??????与????+????=8（两部分都要计算）；
??
?a3。
??=????????=????=???解： 得 ??=?? 或 ??=??，
????
??+??=????上= ???( ??????????????)dx=2 ( ??????????????)dx, ??
?? ??
??
??
??
??
??
?????=?? ??????????
????dx ????
(?? ??????????)??dt ??
????
=8 ??
??
??+????????
??
dt
??
=??+2
????????
dx= ??????
????|??= ????
??
??
??上=2（??+?????）=2??+?? ??下=??（?? ??）-??上=8??? ????+?? =???????
4.求抛物线????=2px及其在点（??，??）处的法线所围成的图形的面积；（王倩） 解：将（??，p）代入????=2px，该点在曲线上， y= ?????? ， ??，=??，|x=?? =1，
法线方程为： y-p=-（x-??） X=??-y
??
??=????=???? 或 得 ，
????=????=???????=??????????
??
??
?????? ????????
??
??
??
??
??=
????
???????
dA=（-y-????
????
??????????
????）dy
??
??A= ?????? ???? ????????????? = ?????????????? |?????=??????
????
??
????
第六章 第三节 定积分在物理学上的应用
一、内容简析
变力沿直线所做的功：
物体受力F(x)作直线运动，其中a?x?b,则力F对物体所做的功为W??baF(x)dx.
水压力：
在水深h处，面积为dS的小微元受水压力dp??ghdS. 引力：
用元素法可将引力分解为横向与纵向上的两个分力.
二、题型、例题、方法
基本题型I：变力沿直线做功
从物理
F作用在
这物体上，且这力的方向与物体运动的方向一致，那么，在物体移动了距离s时，力F对物体所做的功为
W?F?s
如果物体在运动过程中所受到的力是变化的，这就会遇到变力对物体做功的问题.
例：在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体.在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞（面积为S）从点a处推移到b处（图见书P288 图6-28）.计算在移动过程中，气体压力所做的功.
解 取坐标系如图6-28所示.活塞的位置可以用坐标x来表示.由物理学知道，一定量的气体在等温条件下，压强p与体积V的乘积是常数k，即
pV?k或p?kV
因为V?xS,所以
p?kxSkxS
kx于是，作用在活塞上的力
F?p?S??S?
在气体膨胀过程中，体积V是变的，因而x也是变的，所以作用在活塞上的也是变的.
取x为积分变量，它在变化区间为?a,b?.设?x,x?dx?为?a,b?上任一小区间，当活塞从x移动到x?dx时，变力F所作的功近似于dx，即功元素为
xdW?kxdxk
ba于是所求的功为
W??bkxadx?k?lnx?a?klnb.
基本题型Ⅱ：水的侧压力
从物理学知道，在水深为h处的压强为p??gh，这里?是水的密度，g是重力加速度.如果有一面积为A的平板水平额放置在水深为h处，那么，平板一侧所受的水压力为
P?p?A
如果平板铅直放置在水中，那么，由于水深不同的点处压强p不相等，平板一侧所受的水压力就不能用上述方法计算.
例：一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛放有半桶水（图见书P290图6-30（a））.设桶的底半径为R，水的密度为?，计算桶的一个端面上所受的压力. 解 桶的一个端面是圆片，所以现在要计算的是当水平面通过圆心时，铅直放置的一个半圆片的一侧所受到的水压力.
如图6-30（b），在这个圆片上取过圆心且铅直向下的直线为x轴，过圆心的水平线为y轴.对这个坐标系来讲，所讨论的半圆的方程为
x?y22?R2?0?x?R?.取x为积分变量，它的变化区间?0,R?.设?x,x?dx?为
?0,R?上的任一小区间，半圆片上相应于?x,x?dx?的窄条上各点处的压强近似于
这窄条的面积近似于2R?xdx.因此，这窄条一侧所受水压力的近似值，?gx，即压力元素为
dP?2?gx22R?xdx.
22
于是所求压力为
1P??R02?gxR?xdx???g?22R0?R2?x2?d?R22?x2?
?222???g?R?x?3??32?2?g3?R.?3?0R
基本题型III：引力
从物理学知道，质量分别为m1、m2，相距为r的两质点间的引力的大小为
F?Gm1m2r2
其中G为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向.
如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力的方向也是变化的，因此就不能用上述公式来计算.