[学业水平训练]
π
1．下列函数中，周期为的是( )
2
x
A．y＝sin B．y＝sin 2x
2x
C．y＝cos D．y＝cos 4x
4
解析：选D.A中函数的周期为T＝4π，B中函数的周期为T＝π，C中函数的周期为T＝8π，故选D. 2．函数y＝xsin x＋cos x的图象关于( ) A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．以上都不正确
解析：选B.定义域是R，f(－x)＝(－x)sin(－x)＋cos(－x)＝xsin x＋cos x＝f(x)，则f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．
3．下列命题中正确的是( ) A．y＝－sin x为奇函数
B．y＝|sin x|既不是奇函数也不是偶函数 C．y＝3sin x＋1为偶函数 D．y＝sin x－1为奇函数
解析：选A.y＝|sin x|是偶函数，y＝3sin x＋1与y＝sin x－1都是非奇非偶函数． 4．若函数y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ等于( )
π
A．0 B.
4
πC. D．π 2
ππ
解析：选C.由于y＝sin(x＋)＝cos x，而y＝cos x是R上的偶函数，所以φ＝. 22
π??cos x，－2≤x≤0，3π15π
5．设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝?则f(－)的值等于( )
24
??sin x，0＜x≤π，
2
A．1 B. 2
2
C．0 D．－
2
15π33332
解析：选B.f(－)＝f[π×(－3)＋π]＝f(π)＝sin π＝. 4244423
6．函数f(x)＝cos(π＋x)的奇偶性是________．
23
解析：∵f(x)＝cos(π＋x)＝sin x，
2
又g(x)＝sin x是奇函数，
3
∴f(x)＝cos(π＋x)是奇函数．
2
答案：奇函数
π2
7．函数y＝sin(ωx＋)(ω＞0)的最小正周期为π，则ω＝________．
43
π2π2π2π
ωx＋?的最小正周期为T＝，所以＝，所以ω＝3. 解析：因为y＝sin?4??ωω3
答案：3
8．已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，则f(8)＝________． 解析：∵f(x＋3)＝f(x)，∴T＝3， f(8)＝f(3×3－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－2. 答案：－2
9．求下列函数的周期：
1
(1)y＝－2cos(－x－1)；
2
(2)y＝|sin 2x|.
1
解：(1)∵－2cos[－(x＋4π)－1]
21
＝－2cos[(－x－1)－2π]
21
＝－2cos(－x－1)，
2
1
∴函数y＝－2cos(－x－1)的周期是4π.
2π
(2)∵|sin 2(x＋)|＝|sin(2x＋π)|
2
＝|－sin 2x|＝|sin 2x|，
π
∴y＝|sin 2x|的周期是.
2
π5
0，?时，f(x)＝1－sin x，求当x∈?π，3π?时f(x)的解析10．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈??2??2?式．
5
π，3π?时， 解：x∈??2?π0，?， 3π－x∈??2?
π
0，?时，f(x)＝1－sin x， ∵x∈??2?∴f(3π－x)＝1－sin(3π－x) ＝1－sin x.
又∵f(x)是以π为周期的偶函数， ∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，
5
π，3π?. ∴f(x)的解析式为f(x)＝1－sin x，x∈?2??
[高考水平训练]
1．设函数f(x)＝sin 3x＋|sin 3x|，则f(x)为( )
π
A．周期函数，最小正周期为 32
B．周期函数，最小正周期为π
3
C．周期函数，最小正周期为2π D．非周期函数
??0， sin 3x≤0，
解析：选B.f(x)＝?的大致图象如图所示：
??2sin 3x， sin 3x>0，
2
由图可知f(x)为周期函数，最小正周期为π，故选B.
3π
2．(2014·杭州高一检测)已知f(x)＝cos x，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝________．
3
π12π14π15π1
解析：因为f(1)＝cos ＝，f(2)＝cos ＝－，f(3)＝cos π＝－1，f(4)＝cos ＝－，f(5)＝cos ＝，32323232
f(6)＝cos 2π＝1.
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0.
2π
又f(x)的周期为T＝＝6，
π3
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝335×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝－1. 答案：－1
asin x＋bx3
3．已知f(x)＝＋3，若f(5)＝－2，求f(－5)的值．
ccos xasin x＋bx3
解：设g(x)＝，
ccos x
asin（－x）＋b（－x）3
则g(－x)＝ ccos（－x）
asin x＋bx3
＝－＝－g(x)，
ccos x
∴g(x)是奇函数．
由f(5)＝－2，得f(5)＝g(5)＋3＝－2， ∴g(5)＝－5.
∴f(－5)＝g(－5)＋3＝－g(5)＋3＝8.
1
4．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－(f(x)≠0)．
f（x）
(1)求证：函数f(x)是周期函数； (2)若f(1)＝－5，求f(f(5))的值．
1
解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－，
f（x）
11
∴f(x＋4)＝－＝－＝f(x)．
1f（x＋2）
－f（x）
∴f(x)是周期函数，4就是它的一个周期． (2)∵4是f(x)的一个周期． ∴f(5)＝f(1)＝－5， ∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)
－1－11＝＝＝. f（－1＋2）f（1）5