当A、B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图①,AB?OB?b?a?b|;当A、
B两点都不在原点时,（1）如图②,点A、B都在原点的右边,
AB?OB?OA?b?a?b?a?a?b;
（2）如图③,点A、B都在原点的左边,AB?OB?OA?b?a??b???a??a?b （3）如图④,点A、B在原点的两边,AB?OA?OB?a?b?a???b??a?b; 综上,数轴上A、B两点之间的距离AB?a?b.
请回答:
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______,数轴上表示?2和?5的两点之间的距离是_______,数轴上表示1和?3的两点之间的距离是________;
②数轴上表示x和?1的两点A和B之间的距离是_______,如果AB?2,那么x为_______; ③当代数式x?1?x?2取最小值时,相应的x的取值范围是_______.
（南京市中考题）
思维方法天地
11.已知a?1,b?2,c?3,且a?b?c,那么a?b?c?________.
（北京市“迎春杯”竞赛题）
12.在数轴上,点A表示的数是3?x,点B表示的数是3?x,且A、B两点的距离为8,则x?________.
（“五羊杯”竞赛题）
13.已知x?5,y?1那么x?y?x?y?________.
（北京市“迎春杯”竞赛题）
14.（1）x?1?x?1的最小值为__________.
（“希望杯”邀请赛试题）
（2）x?11?x?12?x?13的最小值为________.
（北京市“迎春杯”竞赛题）
15.有理数
a、b在数轴上对应的位置如图所示:
?b?a1?b的值为（）. ?a?bb?1
2,则代数式
a?1a?1A.?1
?aa
B.0
C.1
D.2 （“希望杯”邀请赛试题）
16.若m?2??n?1??0,则m?2n的值为（）.
1
A.?4 B.?1 C.0 D.4
（北京市中考题）
17.如图,已知数轴上点A、B、C所对应的数a、b、c都不为0,且C是AB的中点.
如果a?b?a?2c?b?2c?a?b?2c?0,那么原点O的位置在（）.
A.线段AC上
C.线段BC上
B.线段CA的延长线上.i D.线段CB的延长线上!
（江苏省竞赛题）
18.设m?x?x?1,则m的最小值为（）. A.0
B.1
C.?1
D.2
（重庆市竞赛题）
219.已知点A在数轴上对应的数为a,点B对应的数为b,且a?4??b?1??0,A、B之间的距离记作AB. （1）求线段的长AB;
（2）设点P在数轴上对应的数为x,当PA?PB?2时,求x的值;
（3）若点P在A的左侧,M、N分别是的中点,当点P在A的左侧移动时,式子PN?PM的值是否发生改变?若不变,请求其值;若发生变化,请说明理由. 20.已知x?abcabc???,且a、b、c都不等于0,求1的所有可能值.; abcabc（“华罗庚杯”香港中学竞赛题）
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21.绝对值性质
（1）设a、b为有理数,比较a?b与a?b的大小.
（2）已知a、b、c、d是有理数,a?b?9,c?d?16,且a?b?c?d?25,求
b?a?d?c的值.
（“希望杯”邀请赛试题）
22.已知数轴上两点A、B对应的数分别为?1,3,点P为数轴上一动点,其对应的数为x. （1）若点P到点A、点B的距离相等,求点P对应的数.:
（2）数轴上是否存在点P,使点P到点A、点B的距离之和为5?若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由.
（3）当点P以每分钟1个单位长的速度从O点向左运动时,点A以每分钟5个单位长的速度向左运动,点B以每分钟20个单位长的速度向左运动,问它们同时出发,几分钟后P点到点A、点B的距离相等?
3.有理数的运算
2
解读课标
有理数及其运算是整个数与代数的基础,有关式的所有运算都是建立在数的运算基础上.深刻理解有理数相关概念,掌握一定的有理数运算技能是数与代数学习的基础.
有理数的运算不同于算术数的运算:这是因为有理数的运算每一步要确定符号,有理数的运算很多是字母运算,也就是常说的符号演算.
运算能力是运算技能与推理能力的结合.这就要求我们既能正确地算出结果,又善于观察问题的结构特点,选择合理的运算路径,提高运算的速度.有理数运算常用的技巧与方法有: 利用运算律;以符代数;恰当分组;裂项相消;分解相约;错位相减等. 问题解决 例
1
（
1
）
已
知
an?1?n?1?2?n?1,?2?,,3记,b1?2?1?a1?,
b2?2?1?a1??1?a2?,?,bn?2?1?a1??1?a2???1?an?,则通过计算推测bn的表达式bn?_________.（用含n的代数式表示）
（成都市中考题）
（2）若a、b是互为相反数,c、d是互为倒数,x的绝对值等于2,则x4?cdx2?a?b的值是______.
（“希望杯”邀请赛试题）
试一试对于（2）,运用相关概念的特征解题.
例2 已知整数a、b、c、d满足abcd?25,且a?b?c?d,那么a?b?c?d等于（）.: A.0
B.10
C.2
D.12
（江苏省竞赛题）
试一试 解题的关键是把25表示成4个不同整数的积的形式. 例3 计算: （1）
1?12??123?259??1??????????????????; 2?33??444?60??6060（广西竞赛题）
（2）1?111????; 1?21?2?31?2?3???100（“祖冲之杯”邀请赛试题）
（3）?17??7737??121738??27?11???13?8?5?. 271739??172739?（“五羊杯”竞赛题）
试一试对于（1）,设原式?S,将各括号反序相加;对于（2）,若计算每个分母值,则易掩盖问题的实质,不妨先从考察一般情形入手;对于（3）,视除数为一整体,从寻找被除数与除数的关系入手.
例4在数学活动中,小明为了求
11111?2?3?4???n的值（结果用n表示）,设计了如222223