FT?m?g?a??m1m2g?39.2N

m1?2m24 －14 质量为m1 和m2 的两物体A、B 分别悬挂在图(a)所示的组合轮两端.设两轮的半径分别为R 和r，两轮的转动惯量分别为J1 和J2 ，轮与轴承间、绳索与轮间的摩擦力均略去不计，绳的质量也略去不计.试求两物体的加速度和绳的张力.

分析 由于组合轮是一整体，它的转动惯量是两轮转动惯量之和，它所受的力矩是两绳索张力矩的矢量和(注意两力矩的方向不同).对平动的物体和转动的组合轮分别列出动力学方程，结合角加速度和线加速度之间的关系即可解得. 解 分别对两物体及组合轮作受力分析，如图(b).根据质点的牛顿定律和刚体的转动定律，有

?P1?FT1?m1g?FT1?m1a1 (1) FT?2?P2?FT2?m2g?m2a2 (2)

FT1R?FT2r??J1?J2?α (3) FT?1?FT1,FT?2?FT2 (4)

由角加速度和线加速度之间的关系，有

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a1?Rα (5) a2?rα (6)

解上述方程组，可得

a1?m1R?m2rgR 22J1?J2?m1R?m2rm1R?m2rgr

J1?J2?m1R2?m2r2a2?J1?J2?m1r2?m2RrFT1?m1g

J1?J2?m1R2?m2r2J1?J2?m1R2?m1RrFT2?m2g 22J1?J2?m1R?m2r4 －15 如图所示装置，定滑轮的半径为r，绕转轴的转动惯量为J，滑轮两边分别悬挂质量为m1 和m2 的物体A、B.A 置于倾角为θ 的斜面上，它和斜面间的摩擦因数为μ，若B 向下作加速运动时，求：(1) 其下落加速度的大小；(2) 滑轮两边绳子的张力.(设绳的质量及伸长均不计，绳与滑轮间无滑动，滑轮轴光滑.)

分析 这是连接体的动力学问题，对于这类问题仍采用隔离体的方法，从受力分析着手，然后列出各物体在不同运动形式下的动力学方程.物体A和B可视为质点，则运用牛顿定律.由于绳与滑轮间无滑动，滑轮两边绳中的张力是不同的，滑轮在力矩作用下产生定轴转动，因此，对滑轮必须运用刚体的定轴转动定律.列出动力学方程，并考虑到角量与线量之间的关系，即能解出结果来.

解 作A、B 和滑轮的受力分析，如图(b).其中A 是在张力FＴ1 、重力P1 ，支持力FＮ 和摩擦力Fｆ 的作用下运动，根据牛顿定律，沿斜面方向有

FT1?m1gsinθ?μm1gcosθ?m1a1 (1)

而B 则是在张力FＴ2 和重力P2 的作用下运动，有

m2g?FT2?m2a2 (2) 由于绳子不能伸长、绳与轮之间无滑动，则有

a1?a2?rα (3)

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对滑轮而言，根据定轴转动定律有

FT?2r?FT?1r?Jα (4) FT?1?FT1,FT?2?FT2 (5)

解上述各方程可得

a1?a2?m2g?m1gsinθ?μm1gcosθ

Jm1?m2?2rm1m2g?1?sinθ?μcosθ???sinθ?μcosθ?m1gJ/r2 FT1?2m1?m2?J/rm1m2g?1?sinθ?μcosθ??m2gJ/r2 FT2?m1?m2?J/r24 －16 如图(a)所示，飞轮的质量为60 kg，直径为0.50 m，转速为1.0 ×103 r·min-1 .现用闸瓦制动使其在5.0 s 内停止转动，求制动力F.设闸瓦与飞轮之间的摩擦因数 μ＝0.40，飞轮的质量全部分布在轮缘上.

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分析 飞轮的制动是闸瓦对它的摩擦力矩作用的结果，因此，由飞轮的转动规律可确定制动时所需的摩擦力矩.但是，摩擦力矩的产生与大小，是由闸瓦与飞轮之间的正压力FＮ 决定的，而此力又是由制动力F 通过杠杆作用来实现的.所以，制动力可以通过杠杆的力矩平衡来求出.

解 飞轮和闸杆的受力分析，如图(b)所示.根据闸杆的力矩平衡，有

?l1?0 F?l1?l2??FN?，则闸瓦作用于轮的摩擦力矩为 而FN?FNM?Ffd1l?l?FNμd?12Fμd (1) 222l1摩擦力矩是恒力矩，飞轮作匀角加速转动，由转动的运动规律，有

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α?ω?ω0ω02πn?? (2) ttt因飞轮的质量集中于轮缘，它绕轴的转动惯量J?md2/4，根据转动定律

M?Jα，由式(1)、(2)可得制动力

F?πnmdl1?3.14?102N

μ?l1?l2?t4 －17 一半径为R、质量为m 的匀质圆盘，以角速度ω绕其中心轴转动，现将它平放在一水平板上，盘与板表面的摩擦因数为μ.(1) 求圆盘所受的摩擦力矩.(2) 问经多少时间后，圆盘转动才能停止？

分析 转动圆盘在平板上能逐渐停止下来是由于平板对其摩擦力矩作用的结果.由于圆盘各部分所受的摩擦力的力臂不同，总的摩擦力矩应是各部分摩擦力矩的积分.为此，可考虑将圆盘分割成许多同心圆环，取半径为r、宽为dr 的圆环为面元，环所受摩擦力dFｆ ＝2πrμmgdr/πR2 ，其方向均与环的半径垂直，因此，该圆环的摩擦力矩dM ＝r ×dFｆ ，其方向沿转动轴，则圆盘所受的总摩擦力矩M ＝∫ dM.这样，总的摩擦力矩的计算就可通过积分来完成.由于摩擦力矩是恒力矩，则由角动量定理MΔt ＝Δ(Jω)，可求得圆盘停止前所经历的时间Δt.当然也可由转动定律求解得. 解 (1) 由分析可知，圆盘上半径为r、宽度为dr 的同心圆环所受的摩擦力矩为

dM?r?dFf??2r2μmgdr/R2k

??式中k 为轴向的单位矢量.圆盘所受的总摩擦力矩大小为

M??dM??R02r2μmg2dr?μmgR R23(2) 由于摩擦力矩是一恒力矩，圆盘的转动惯量J ＝mR2/2 .由角动量定理MΔt

＝Δ(Jω)，可得圆盘停止的时间为

Δt?Jω3ωR? M4μg4 －18 如图所示，一通风机的转动部分以初角速度ω0 绕其轴转动，空气的

阻力矩与角速度成正比，比例系数C 为一常量.若转动部分对其轴的转动惯量为J，问：(1) 经过多少时间后其转动角速度减少为初角速度的一半？(2) 在此时间内共转过多少转？

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