???x?0,?，则0?t?1， 设t?sinx，??2?3???3?1∴y?2?t2?t??1?2?t???， 2???4?8∴当t?0时，ymax?1.

（2）当x1??0,3?，∴f?x?值域为??,10?，

8当x2??0,3?时，则?有?2?1????6?x2??6?3??6

1????sin?x2???1. 26???1?A,A?； ?2?①当A?0时，g?x2?的值域为??②当A?0时，g?x2?值域为?A,???1?A?. 2?而依据题意有f?x1?的值域是g?x2?值域的子集，

???A?0?A?0??1?则?10?A或?10??A，

2??11????A?1??A2?8??8∴A?10或A??20. 【点睛】

第一问考查用换元法求解含sinx型函数的最大值，第二问考查三角函数的值域的求解，属函数综合题；本题的易错点是没有注意A的正负，造成错解. 22．函数f?x??sin?wx????w?0,??????2??的图象的对称轴之间的最短距离为

?，2???且经过点?,1?.

?12?（1）写出函数f?x?的解析式； （2）若对任意的x???????,?，f2?x??mf?x??1?0恒成立，求实数m的取值范?612?第 16 页 共 19 页

围；

（3）求实数a和正整数n，使得F?x??f?x??a在0,n?上恰有2017个零点. 【答案】（1）f?x??sin?2x???????（2）m?0 ；（3）a?1或a??1时，n?2017；? ；3?a?3时，n?1008 2【解析】（1）由对称轴及图像上一点，待定系数可得函数解析式； （2）求f?x?值域，换元后，转化为二次函数恒成立问题求参数； （3）将零点问题转化为交点问题，先考虑一个周期的情况，再进行延拓. 【详解】

（1）f?x??sin?wx???的图象的对称轴之间的最短距离为故其周期为T?2??， 2?2??，解得??2??2； T??????sin2?????1， ,1fx又??经过点??，故??12??12?解得??2k??又因为???3,?k?Z?

?2，故可得???3，

???fx?sin2x???故??.

3??（2）若对任意的x???????????,?，2x???0,?，

3?2??612????fx?sin2x?故??????0,1?，

3??因为f2?x??mf?x??1?0恒成立，

令t?f?x???0,1?，

g?t??t2?mt?1?0恒成立，只需： g?0???1?0，且g?1???m?0，

解得m?0.

（3）∵F?x??f?x??a在0,n?上恰有2017个零点，

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故f?x?的图象和直线y?a在0,n?上恰有2017个交点. 先考虑在在?0,??上的交点情况， 不妨作出f?x?在0,?上的图像如下：

????

①当a?1，或a??1时，

f?x?的图象和直线y?a在?0,n??上无交点.

②当a?1，或a??1时，

f?x?的图象和直线y?a在?0,??仅有一个交点，

此时，f?x?的图象和直线y?a在0,n?上恰有2017个交点， 则n?2017. ③当?1?a???33，或?a?1时， 22f?x?的图象和直线y?a在?0,??上恰有2个交点，

f?x?的图象和直线y?a在?0,n??上有偶数个交点，不会有2017个交点.

④当a?3时， 2f?x?的图象和直线y?a在?0,??上恰有3个交点，

此时，n?1008，才能使f?x?的图象和直线y?a在0,n?上有2017个交点. 综上可得，当a?1，或a??1时，n?2017；

当a???3时，此时，n?1008. 2【点睛】

本题考查由三角函数性质求三角函数的解析式，以及三角函数的值域，涉及

零点问题，以及二次函数恒成立问题.属函数综合问题.

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