解：F(z)?10zz(?) （＋2分） 3z?0.5z?0.210[?0.5k?(?k?1)] （＋2分） 310[?0.2k?(k)] （＋2分） 3极点0.5处于收敛区间外部，对应于左边序列：fa(k)?极点0.2处于收敛区间外部，对应于右边序列：fb(k)?所以：

f(k)?10[?0.5k?(?k?1)?0.2k?(k)] （＋2分） 37．已知f1(t)和f2(t)的波形如下图所示，画出f(t)?f1(t)?f2(t)的的波形图

f1(t)f2(t)10t101t解：

f(t)1t

018．已知f(t)的波形如下图所示。请画出f(-2t+1)的图形

f(t)21-101t

9．求下述象函数F?s?的原函数的初值f?0?? 和终值f???

?s?1?答案：f?0??=2，f???=0

2F?s??2s?3

10．求如图所示锯齿脉冲的傅立叶变换。

f?t?TA?20T2t答案： j2A??F??T??cos?Sa??? ??22????

11．已知差分方程为y(k)?y(k?1)?2y(k?2)?f(k)，求单位序列响应h(k) 解：(1)求初始植

单位根据序列响应的定义，它应该满足方程

h(k)?h(k?1)?2h(k?2)??(k) ① 且初始状态h(?1)?h(?2)?0。将上式移项有

h(k)?h(k?1)?2h(k?2)??(k)

令k?0,1，并考虑到?(0)?1,?(1)?0，可求得单位序列响应h(k)的初始值

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h(0)?h(?1)?2h(?2)??(0)?1?? ②

h(1)?h(0)?2h(?1)??(1)?1? （2）求h(k)

对于k?0,由式 ①知，h(k)满足齐次方程

h(k)?h(k?1)?2h(k?2)?0

其特征方程为：?2???2?(??1)(??2)?0 特征根?1??1,?2?2，得方程的齐次解

z212. 已知F(z)?，|z|?2，求F(z)的原函数f(k)。

(z?2)2F(z)解：因为F(z)的收敛域为|z|?2，所以f(k)为因果序列。对进行部分分式展开，得

zK12K11F(z)z ???z(z?2)2(z?2)2z?2求系数K12,K11得：

K12?(z?2)2F(z)z?2 K11?(z?2)2[z?2F(z)]??1 zz?2于是得：

F(z)21 ??z(z?2)2z?2F(z)?2zz |z|>2 ?(z?2)2z?2因此得 k2k?1?(k)?z |z|>2

(z?2)2z |z|>2 z?22k?(k)?所以 f(k)?k2k?(k)?2k?(k)?(k?1)2k?(k)

三、计算题

1、系统的微分方程为y?(t)?2y(t)?f(t)，求输入f(t)?e?t?(t)时的系统的响应。（用傅氏变换求解） 解：y?(t)?2y(t)?f(t)

两边求傅氏变换，jwY(jw)?2Y(jw)?F(jw)

H（jw）=

Y(jw)1 ?F(jw)jw?2?f(t)?e?t?(t)?F(jw)???(w?1)? 1j(w?1)11???(w?1)? jw?2j(w?1)Yf(jw)?F(jw)?H(jw)?2、已知某离散系统的差分方程为

2y(k?2)?3y(k?1)?y(k)?e(k?1) 其初始状态为y(0)?0,y(1)?1.5，激励e(k)??(k)；

(1) 画出该系统的模拟框图。 (2) 求该系统的单位函数响应h(k)。

(3) 求系统的全响应y(k)，并标出受迫响应分量、自然响应分量、瞬态响应分量和

稳态响应分量。

解：(1)y(k?2)?1.5y(k?1)?0.5y(k)?0.5e(k?1)

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0.5x(k)∑y(k)D1.5D-0.5 （＋4分）

(2)H(z)?z0.5zH(z)?，

2z2?3z?1z2?1.5z?0.5特征根为?1=0.5，?2=1

H(z)?zz? （＋2分） z?1z?0.5h(k)= (1?0.5k)?(k) （＋2分） （3）求零状态响应： Yzs(z)=H(z)E(z)=

zzzzz ????222z?3z?1z?1z?0.5z?1(z?1)零状态响应：yzs(k)= (0.5k +k?1)?(k)

（＋2分）

yzs(0)?0，yzs(1)?0.5 yzi(0) ?y(0?)yzs(?0)yzi(1)?y(1)?yzs(1)?1

（＋2分）

根据特征根，可以得到零输入响应的形式解： yzi(k)=(C10.5k+C2)?(k)； 代入初始条件得C1= ?2，C2=2 零输入响应：yzi(k)= (2?2 0.5k)?(k)

（＋2分）

全响应：y(t)?yzi(k)?yzs(k)?(1?k?0.5k)?(k)（＋2分） 自由响应：(1 ?0.5k)?(k)

受迫响应：k?(k)，严格地说是混合响应。

（＋2分）

瞬态响应分量?0.5k?(k) 稳态响应分量(1+k)?(k)

（对于?(k)，可以划归于自由响应，也可以划归于受迫响应。 k?(k)可以归于稳态响应，或者明确指定为不稳定的分量但是不可以指定为暂态分量）