0．8 1．0

0．2 0 （2） 如果你的风险厌恶度A=2，请计算每种组合的效用水平。你有何发现。 （3） 如果你的风险厌恶度A=4，请计算每种组合的效用水平。你有何发现。 14．

在年初，你拥有如下数量的4种证券，这些证券均不发放红利，其当前和预期证券 股数 当前价格（元） 预期年末价（元）

A 100 50 60 B 200 35 40 C 50 25 50 D 100 100 110

这一年你的投资组合的期望收益率是多少？ 15．你正考虑投资于A公司。你估计了该公司股票收益率的概率分布如下：

收益率（%） 概率

－10 0.10 0 0.25 10 0.40 20 0.20 30 0.05

基于你的估计，计算该股票的期望收益率和标准差。 16．股票A和B的期望收益率和标准差为：

股票 期望收益率（%） 标准差（%） A 13 10

B 5 18

你购买20 000元股票A，并卖空10 000元的股票B，使用这些资金购买更多的股票A。两种证券间的相关系数为0.25。你的投资组合的期望收益率和标准差是多少？ 17．你估计了证券A和B的投资收益率的联合概率分布如下：

证券A（%） 证券B（%） 概率 －10 15 0.15 5 10 0.20

10 5 0.30 20 0 0.35 基于你的估计，计算两种投资间的协方差和相关系数。

18．给定三种证券的方差——协方差矩阵以及每一证券在组合中的权重如下，计算组

合的标准差。

证券A 证券B 证券C

证券A 459 －211 112 证券B －211 312 215 证券C 112 215 179

XA=0.5 XB=0.3

XC=0.2

年末价格为：

19．你拥有三种证券，估计有如下的收益率的联合概率分布：

状态 证券A (%) 证券B(%) 证券 C (%)

概率

1 －10 10 0 0.30

2 0 10 10 0.20

3 10 5 15 0.30

4 20 －10 5 0.20

如果你的资金有20%投资于证券A，50%于B，30%于C，计算组合的期望收益率和标准差。

20．考虑两种证券，A和B，其标准差分别为30%和40%，如果两种证券的相关系数

如下，计算等权数的组合的标准差。 （1） 0.9； （2） 0.0； （3）－0.9。

习题：

1．Z股票目前市价为10元，某投资咨询公司为该股票的红利和1年后的股价作了如下的情景分析： 情景 1 2 3 4 5 概率 0．1 0．2 0．3 0．25 0．15 现金红利（元） 0 0．2 0．4 0．6 0．8 期末股价（元） 0 2．00 12．00 16．00 25．00 请计算各情景的收益率以及这些收益率的均值、中位数、众数、标准差、三阶中心矩。该股票收益率的概率分布是否有正偏斜？

附录B：

预期收益率、均方差、协方差和相关系数的经验估计

预期收益率、均方差、协方差和相关系数的估计在投资决策中有着举足轻重的作用。这里我们介绍较简单、也较常用的一种经验（Empirical）估计法，即根据过去的实际数据对未来进行估计。

首先，我们要选定样本期的长短。选择一个适当的样本期长度并不是一件简单的事。一般来说，数据越多，估计结果通常越精确。但是，相关经验研究表明，预期收益率、均方差、协方差和相关系数本身会随着时间的变化而变化，因此太老的数据对预测未来的用处可能用处不大。因此一个折中方案是使用最近90至180天的每日收盘股价1进行估计。另一个经常使用的原则是选择与使用期相同长度的样本期。更为复杂的方法则是使用GARCH等计量经济方法。

另一个重要的问题是时间应使用日历时间还是交易时间。大量的经验研究结果显示，用交易时间较为合理。

令：n+1为我们选定的样本天数；

Si为在第i天的收盘股价（i=0，1，2，?，n）。

ui?lnSiSi?1，表示第i天的连续复利收益率2，i =1，2，?，n。

则预期收益率的估计值（u）就等于ui的均值： u?1nn?ui?1i

收益率的均方差（?）的无偏估计为： ????un?1i?11ni?u?2

现假设有两种证券1和2，其连续复利年收益率分别为u1i和u2i，收益率的均值分别为u1和u2，均方差分别为?1、?2，则其协方差（?1，2）的无偏估计为：

?1，2???u?n?1i?11n1i?u1??u2i?u2??

两种证券的相关系数（?1，2）的估计值为：

?1，2??1，2?1?2

本书所附光盘中有一个根据上述方法用2002年5月29日至2002年7月9日之间招商银行与陆家嘴股票的收盘价格估计这两种股票在2002年7月10日的预期收益率、均方差、协方差和相关系数的EXCEL模板。作为一个简单的例子，我们取样本期间长度为30个交易日。

应该注意的是，根据历史数据估计未来的预期收益率存在很大的局限性，在实际应用时要特别小心。例如，根据这段时期估计的招商银行股票的连续复利预期年收益率高达 12

也可以用每周或每月的收盘股价来估计。

如果该股票当天有分红派息、增发、拆息等行为，则应对当天的收盘价进行复权。

213.61%，这显然有问题。这也是目前有关股票预期收益率的大多数经验研究（有人称为实证研究）所存在的问题。

值得一提的是，EXCEL本身就有求均值、标准差、协方差和相关系数的函数，其函数名分别为AVERAGE、STDEV、COVAR和CORREL。只是EXCEL中的COVAR计算公式为：

?1，2?1n???ui?1n1i?u1??u2i?u2??

习题答案： 1． （3） 2． （2） 3． （4） 4． （4） 5． (1)

6． 贝塔系数=30%×1.2+20%×0.6+10%×1.5×40%×0.8=0.95 7． 1/3×1.6+1/3×X=1,X=1.4

8． 对于A=4的投资者而言，风险资产组合的效用是： U=20%-0.5×4×20%=12%

而国库券的效用是7%，因此他会选择风险资产组合。 对于A=8的投资者而言，风险资产组合的效用是： U=20%-0.5×8×20%=4% 因此他会选择国库券。 9． 风险资产组合的效用为： U=14%-0.5A×20%

国库券的效用为6%。为了使他更偏好风险资产组合，14%-0.5A×20%必须大于6%，即A必须小于4。为了使他更偏好国库券，14%-0.5A×20%必须小于6%，即A必须大于4。 10． （1）尽管孤立地来看黄金的预期收益率和标准差都不如股票理想，但如果股票和

黄金的相 关系数很小（如图中的实线所示），投资者通过持有部分黄金仍有可能提高投资效用。

（2）如果股票和黄金的相关系数等于1（如图中的虚线所示），则任何理性的投资者都不会持有黄金的多头。此时黄金市场显然无法取得均衡。人们卖出或卖空黄金的结果将使黄金价格下跌、收益率提高。

2

2

2

22

预期收益率股票 ?=1 ?<1 黄金 标准差 11． 无差异曲线上的点必须满足效用函数： U?R?12A?

2

2（1） 将A=2，U=6%代入上式得：R=6%+?

利用这个式子，我们可以得到与不同的?值相对应的R值，如下表：

? 0% 5% 10% 15% 20% 25% R 6% 6.25% 7% 8.25% 10% 12.25% 2

将这些点连起来就是该投资者的无差异曲线，如图中U1所示。

（2） 将A=4，U=5%代入上式得：R=5%+2?

利用这个式子，我们可以得到与不同的?值相对应的R值，如下表：

? 0% 5% 10% 15% 20% 25% R 5% 5．5% 7% 9．5% 13% 17．5% 将这些点连起来就是该投资者的无差异曲线，如图中U1所示。

（3） 将A=0，U=6%代入上式得：R=6%。

可见该投资者的无差异曲线就是一条经过（0，6%）点的水平线，如图中U3所示。

（4） 将A=-2，U=6%代入上式得：R=6%-?

利用这个式子，我们可以得到与不同的?值相对应的R值，如下表：

2

? 0% 5% R 6% 5．75%