专题对点练8 导数与函数的零点及参数范围
1.(2018全国Ⅱ,文21)已知函数f(x)= x3-a(x2+x+1). (1)若a=3,求f(x)的单调区间; (2)证明:f(x)只有一个零点.
2.已知函数f(x)=ax+x2-xln a-b(a,b∈R,a>1),e是自然对数的底数. (1)当a=e, b=4时,求函数f(x)零点个数; (2)若b=1,求f(x)在[-1,1]上的最大值.
3.已知函数f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-2(e为自然对数的底数,a∈R). (1)判断曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与曲线y=g(x)的公共点个数;
(2)当x∈时,若函数y=f(x)-g(x)有两个零点,求a的取值范围.
4.(2018天津,文20)设函数f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3),其中t1,t2,t3∈R,且t1,t2,t3是公差为d的等差数列. (1)若t2=0,d=1,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)若d=3,求f(x)的极值; (3)若曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6
有三个互异的公共点,求d的取值范围.
专题对点练8答案
1.解 (1)当a=3时,f(x)= x3-3x2-3x-3,f'(x)=x2-6x-3. 令f'(x)=0,解得x=3-2当x∈(-∞,3-2当x∈(3-2故f(x)在(-∞,3-2
,3+2
或x=3+2
.
)∪(3+2),(3+2
,+∞)时,f'(x)>0; ,+∞)单调递增,在(3-2
-3a=0.
,3+2
)单调递减.
)时,f'(x)<0.
(2)由于x2+x+1>0,所以f(x)=0等价于
设g(x)=-3a,则g'(x)=≥0,仅当x=0时g'(x)=0,所以g(x)在(-∞,+∞)单调递增,故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.
又f(3a-1)=-6a2+2a-=-6<0,f(3a+1)= >0,故f(x)有一个零点. 综上,f(x)只有一个零点.
2.解 (1)由题意f(x)=ex+x2-x-4, ∴f'(x)=ex+2x-1,∴f'(0)=0,
当x>0时, ex>1,∴f'(x)>0,故f(x)是(0,+∞)上的增函数; 当x<0时,ex<1,∴f'(x)<0,故f(x)是(-∞,0)上的减函数.
f(1)=e-4<0,f(2)=e2-2>0,∴存在x1∈(1,2)是f(x)在(0,+∞)上的唯一零点; f(-2)=+2>0,f(-1)= -2<0,∴存在x2∈(-2,-1)是f(x)在(-∞,0)上的唯一零点. ∴f(x)的零点个数为2.
(2)当b=1时,f(x)=ax+x2-xln a-1,∴f'(x)=axln a+2x-ln a=2x+(ax-1)ln a, 当x>0时,由a>1,可知ax-1>0,ln a>0,∴f'(x)>0; 当x<0时,由a>1,可知ax-1<0,ln a>0,∴f'(x)<0;
当x=0时,f'(x)=0,∴f(x)是[-1,0]上的减函数,[0,1]上的增函数. ∴当x∈[-1,1]时,f(x)min=f(0),f(x)max为f(-1)和f(1)中的较大者. 而f(1)-f(-1)=a--2ln a, 设g(x)=x--2ln x(x>0).
∵g'(x)=1+≥0(当且仅当x=1时等号成立), ∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,而g(1)=0,
∴当x>1时,g(x)>0,即当a>1时,a--2ln a>0, ∴f(1)>f(-1).
∴f(x)max=f(1)=a+1-ln a-1=a-ln a.
3.解 (1) f'(x)=ln x+1,所以切线斜率k=f'(1)=1. 又f(1)=0,
所以曲线在点(1,0)处的切线方程为y=x-1. 由得x2+(1-a)x+1=0. 由Δ=(1-a)2-4=a2-2a-3=(a+1)(a-3),可知: 当Δ>0,即a<-1或a>3时,有两个公共点; 当Δ=0,即a=-1或a=3时,有一个公共点; 当Δ<0,即-1 时,由h'(x)=0,得x=1. . 所以h(x)在上单调递减,在[1,e]上单调递增, 因此h(x)min=h(1)=3. 由h比较可知h +2e-1,h(e)=e++1, >h(e),所以,结合函数图象可得, 当3 4.解 (1)由已知,可得f(x)=x(x-1)(x+1)=x3-x,故f'(x)=3x2-1.因此f(0)=0,f'(0)=-1.又因为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-f(0)=f'(0)(x-0),故所求切线方程为x+y=0. (2)由已知可得f(x)=(x-t2+3)(x-t2)·(x-t2-3)=(x-t2)3-9(x-t2)=x3-3t2x2+(3-9)x-+9t2.故f'(x)=3x2-6t2x+3-9.令f'(x)=0,解得x=t2-,或x=t2+. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x f'(x) f(x) (-∞,t2-+ ↗ ) t2- 0 极大值 )=(-(t2-- ↘ ,t2+) t2+ 0 极小值 (t2++ ↗ ,+∞) 所以函数f(x)的极大值为f(t2-6 . 有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x-t2+d)(x-t2)(x-t2-d)+(x-=0. 有三个互异的公共点等价于函数 =0有三个互异的实数解.令u=x-t2,可得u3+(1-d2)u+6 )3-9×(-)=6 ;函数f(x)的极小值为f(t2+ )=( )3-9× =- (3)曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6t2)+6 设函数g(x)=x3+(1-d2)x+6,则曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6y=g(x)有三个零点. g'(x)=3x2+(1-d2). 当d2≤1时,g'(x)≥0,这时g(x)在R上单调递增,不合题意. 当d2>1时,令g'(x)=0,解得x1=-,x2=. 易得,g(x)在(-∞,x1)上单调递增,在[x1,x2]上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增. g(x)的极大值g(x1)=g +6 >0. g(x)的极小值g(x2)=g=-+6. 若g(x2)≥0,由g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点,不合题意. 若g(x2)<0,即(d2-1>27,也就是|d|>2|d|+6<-62+6一个零点,符合题意. ,此时|d|>x2,g(|d|)=|d|+6