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∴当m
因此，当f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)成立时，不等式m－n<0一定成立，故选A.
??m＋x，|x|≥1，
5．[数形结合法]设函数f(x)＝?
?x，|x|<1?
2
的图象过点(1,1)，函数g(x)是二
次函数，若函数f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则函数g(x)的值域是________．
?m＋x，|x|≥1，?
解析：因为函数f(x)＝?
??x，|x|<1?x，|x|≥1，?
＝0，所以f(x)＝?
??x，|x|<1.
2
2
的图象过点(1,1)，所以m＋1＝1，解得m
画出函数y＝f(x)的大致图象如图所示，观察图象可知，
当纵坐标在[0，＋∞)上时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化． 而f(x)的值域为(－1，＋∞)，
f(g(x))的值域为[0，＋∞)，
因为g(x)是二次函数， 所以g(x)的值域是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)
(三)素养专练——学会更学通
6．[数学抽象]已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f(x＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )
A．(－1,2)
C．(－∞，－1)∪[4，＋∞)
B．(1,4)
D．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
解析：选D 由函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f(x＋1)＜1即为f(0)＜f(x＋1)＜f(3)，所以0＜x＋1＜3，所以－1＜x＜2，故不等式－3＜f(x＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
11
7．[数学运算]已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．
ax(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数； 11
(2)若f(x)在，2上的值域是，2，求a的值．
22解：(1)证明：设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0，
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?11??11?因为f(x2)－f(x1)＝?－?－?－?
?ax2??ax1?
11x2－x1
＝－＝>0，所以f(x2)>f(x1)，
x1x2x1x2
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 11
(2)因为f(x)在，2上的值域是，2，
221
又由(1)得f(x)在，2上是单调增函数，
2
?1?1
所以f??＝，f(2)＝2，
?2?2
2
解得a＝.
5
??8．[数学运算]已知函数f(x)＝lg?x＋－2?，其中a是大于0的常数．
?
?
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围． 解：(1)由x＋－2>0，
axaxx2－2x＋a得>0，
x当a>1时，x－2x＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)； 当a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}；
当0
2
aax2－a(2)设g(x)＝x＋－2，当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，g′(x)＝1－2＝2>0恒成
xxx立，
所以g(x)＝x＋－2在[2，＋∞)上是增函数．
ax??所以f(x)＝lg?x＋－2?在[2，＋∞)上是增函数．
?
?
??所以f(x)＝lg?x＋－2?在[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝lg. 2?x?
(3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0， 即x＋－2>1对任意x∈[2，＋∞)恒成立． 所以a>3x－x，令h(x)＝3x－x，
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2
2
axaaax309教育网 www.309edu.com
?3?292
而h(x)＝3x－x＝－?x－?＋在[2，＋∞)上是减函数，所以h(x)max＝h(2)＝2，所以
?2?4
a>2.
即a的取值范围为(2，＋∞)．
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