课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 第八章 ??矩阵 §1 ??矩阵

设P是数域，?是一个文字，作多项式环P[?]，一个矩阵如果它的元素是?的多项式，即P[?]的元素，就称为??矩阵.在这一章讨论??矩阵的一些性质，并用这些性质来证明上一章第八节中关于若当标准形的主要定理.

因为数域P中的数也是P[?]的元素，所以在??矩阵中也包括以数为元素的矩阵.为了与??矩阵相区别，把以数域P中的数为元素的矩阵称为数字矩阵.以下用A(?),B(?),?等表示??矩阵.

我们知道，P[?]中的元素可以作加、减、乘三种运算，并且它们与数的运算有相同的运算规律.而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法与乘法，因此可以同样定义??矩阵的加法与乘法，它们与数字矩阵的运算有相同的运算规律.

行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法，因此，同样可以定义一个

n?n的??矩阵的行列式.一般地，??矩阵的行列式是?的一个多项式，它与数字矩阵的行列式有相同的性质.

定义1 如果??矩阵A(?)中有一个r(r?1)级子式不为零，而所有r?1级子式（如果有的话）全为零，则称A(?)的秩为r.零矩阵的秩规定为零.

定义2 一个n?n的??矩阵A(?)称为可逆的，如果有一个n?n的??矩阵

B(?)使

A(?)B(?)?B(?)A(?)?E, (1)

这里E是n级单位矩阵.适合(1)的矩阵B(?)(它是唯一的)称为A(?)的逆矩阵，记为A?1(?)..

定理1 一个n?n的??矩阵A(?)是可逆的充要条件为行列式|A(?)|是一个非零的数.

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 §2 ??矩阵在初等变换下的标准形

??矩阵也可以有初等变换

定义3 下面的三种变换叫做??矩阵的初等变换： (1) 矩阵的两行（列）互换位置；

(2) 矩阵的某一行（列）乘以非零的常数c；

(3) 矩阵有某一行（列）加另一行（列）的?(?)倍，?(?)是一个多项式. 和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵.例如，将单位矩阵的第j行的?(?)倍加到第i行上得

i列?1????P(i.j(?))????????1??j列????i行?(?)?

???j行1????1?仍用P(i,j)表示由单位矩阵经过第i行第j行互换位置所得的初等矩阵，用

P(i(c))表示用非零常数c乘单位矩阵第i行所得的初等矩阵.同样地，对一个s?n的??矩阵A(?)作一次初等变换就相当于在A(?)的左边乘上相应s?s的初等矩阵；对A(?)作一次初等列变换就相当于A(?)在的右边乘上相应的n?n的初等矩阵.

初等矩阵都是可逆的，并且有

P(i,j)?1?P(i,j),P(i(c))?1?P(i(c?1)),P(i,j(?))?1?P(i,j(??)). 由此得出初等变换具有可逆性：设??矩阵A(?)用初等变换变成B(?)，这相当于对A(?)左乘或右乘一个初等矩阵.再用此初等矩阵的逆矩阵来乘B(?)就变回A(?)，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由B(?)可用初等变换变回A(?).

定义4 ??矩阵A(?)称为与B(?)等价，如果可以经过一系列初等变换将

课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 A(?)化为B(?).

等价是??矩阵之间的一种关系，这个关系显然具有下列三个性质： (!) 反身性：每一个??矩阵与它自身等价.

(2) 对称性：若A(?)与B(?)等价，则B(?)与A(?)等价.

(3) 传递性：若A(?)与B(?)等价，B(?)与C(?)等价，则A(?)与C(?)等价. 应用初等变换与初等矩阵的关系即得，矩阵A(?)与B(?)等价的充要条件为有一系列初等矩阵P1,P2,?,Pl,Q1,Q2,?,Qt，使

A(?)?P1P2?PlB(?)Q1Q2?Qt. (2)

这一节主要是证明任意一个??矩阵可以经过初等变换化为某种对角矩阵. 引理 设??矩阵A(?)的左上角元素a11(?)?0，并且A(?)中至少有一个元素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与A(?)等价的矩阵B(?)，它的左上角元素也不为零，但是次数比a11(?)的次数低.

定理2 任意一个非零的s?n的??矩阵A(?)都等价于下列形式的矩阵

?d1(?)?d2(?)????dr(?)??0??????????, ?????0?其中r?1,di(?)(i?1,2,?,r)是首项系数为1的多项式，且

di(?)|di?1(?)(i?1,2,?,r?1).

这个矩阵称为A(?)的标准形. 例 用初等变换化??矩阵