高考数学好题速递400题(第351―400题带答案和解释) 下载本文

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高考数学好题速递400题(第351―400题带答案和解释) 好题速递351题 对任意实数 ,不等式 恒成立,则实数 的最大值为 . 解:令 则 当且仅当 ,即 时取得等号。 故 ,即 点评:本题因为分母比较复杂不整洁,所以将分母进行换元是常见的方法。 好题速递352题 若向量 满足 ,则 的最大值为 。 解:由极化恒等变形得 , 故 即 即 故

好题速递353题 已知函数 ,且 。 对 恒成立,则 的最小值为 。 解法一:齐次化思想 根据条件有 ,则 因此 令 ,则 解法二:由题意可知 ,即 此时已经转成齐次式了,所以分子分母同除 则 当且仅当 及 时,即 时取得。 解法三:根据条件有 ,则 故 令 得 当且仅当 及 时取得最小值,即 时取得。 解法四:令 ,得 ,代入 得 解法五:待定系数法 假设 ,化简为 又 故比对系数得 ,得 因为 ,所以 因为 ,所以

好题速递354题 空间四点 满足 , , , ,则 的值为 。 解: 点评:这里用到了向量点积的余弦定理形式, 即

好题速递355题 已知圆 , ,直线 , 在圆 上, 在直线 上,满足 , ,则 的最大值为 . 解:设 , ,所以 因为 , , 故知 就是绕着 顺时针或逆时针旋转 得到 所以 或 即 或 在圆 上, 所以 或 即 或 两个方程中有一个有解即可, 所以 或 综上, 好题速递356题 已知实数 满足关系式 ,则 的最小值是 . 解法一:题干中出现的全是两数的和、平方和与乘积,所以考虑用均值不等式链条。 由 或 所以 点评:这里注意因为题干中没有告诉我们 的正负性,所以不能直接用 来求 的取值范围,所以改为用重要不等式来 来做。虽然答案正好一样,但做法要注意。 解法二:遇到 结构,所以用代数的极化恒等式变形。 令 ,则问题转变为已知 ,求 的最小值。 因为 所以还需要计算定义域,即 所以 解法三:设 ,则 视为 的两根 所以 所以 或 当且仅当 时取得最小值。

好题速递357题 已知点 为圆 与圆 的公共点,圆 ,圆 ,若 , ,则点 与直线 上任意一点 之间的距离的最小值为 . 解:设 , ,则 , 所以 ,即 同理 所以 是方程 的两个实根 所以 所以点 的轨迹方程为 所以点 到直线 的最短距离为

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好题速递358题 已知向量 满足 , ,则 的取值范围是 . 解:(一)几何角度 由 和 可以画图,找到向量模长的几何意义。 解法一:基底法 因为 因为 三者都未知,属于一问三不知问题,所以考虑转基底做。 那么题目中哪些向量适合做基底呢?显然 两个向量长度已知,适合做基底。 (这里夹角未知是应该的,不然整个图就确定下来,就不会是求最小值了。) 所以由 三点共线,且 ,可知 所以 解法二:解三角形 设 , 则在 与 中运用余弦定理得 解得 又在 中,利用三角形两边之和大于等于第三边得 ,即 所以 (二)代数角度 解法三:换元思想 令 , ,则反解得 , ,且 所以 这个做法本质上其实就是转基底,只是不是从几何图形出发,采用换元法。 解法四:平方角度 我们常说:“向量的模长一次想几何,二次想代数运算”,所以本题的两个条件也可以平方。 即 , 这里将解得 三者视为整体,那么就属于“三个字母,两个方程,少一个,求取值范围,合情合理!”的问题 所以用要求的 表示 得 所以由题干知 , 即 即 即 所以 故 解法五: 在解法四 的基础上,也可解得 所以要求 的最小值,只需要求 的最小值即可 这里用代数中的三角不等式“ ”来解决。 由 ,即 ,所以 所以 好题速递359题 (2015天津文科第14题)已知函数 ,若函数 在区间 内单调递增,且函数 的图像关于直线 对称,则 的值为 . 解:由 在区间 内单调递增,且函数 的图像关于直线 对称,可得 ,且 ,得 所以 ,得

好题速递360题 若椭圆 过椭圆中心的直线交椭圆于 两点, 是椭圆右焦点,则 的周长的最小值为 , 的面积的最大值为 . 解:连接 ,则由椭圆的中心对称性可得 好题速递361题 (2015湖北理科第10题)设 , 表示不超过 的最大整数. 若存在实数 ,使得 , ,…, 同时成立,则正整数 的最大值是 . 解:由 得 由 得 由 得 ,所以 由 得 ,所以 由 得 与 矛盾,故正整数 的最大值是4 好题速递362题 过点 的直线 交圆 于点 , 为坐标原点,若在线段 上的 满足 ,则 . 解:设 , , ,直线 则 , , 由 得 由 得 所以 , 所以 所以 整理得点 满足的轨迹方程为 所以

好题速递363题 如图,已知点 为 的边 上一点, , 为 边上一列

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点,满足 ,其中数列 满足 , ,则 的通项公式为 . 解:由 可得 又 ,且 故 即 因为 不共线,故 , 两式相除消去 得 ,又 ,所以 好题速递364题 若点 在圆 : 上运动,点 在 轴上运动,则对定点 而言, 的最小值为 . 解法1:设 , ,则 . 若设 ,则由题意可得 .即,点 在以 为圆心,以 为半径的圆 : 上. 由圆 与圆 有公共点 可得 ,从而 . 解法2:设 , ,则 . 从而, . 解法3:由点 在圆 上可设 , , 则 . 故 . 解法4:设 为 的中点,则 ,过 作 轴的垂线,垂足分别为 . 由于 , 因此 ,即 . 解法5:设 为点 关于点 的对称点, 则 . 由于点 在直线 上,点 在圆 : 上可得 . 解法6:同解法5,设 为点 关于点 的对称点,则 . 由于点 在圆 : 上,点 在 轴上可得 好题速递365题 设实数 满足 ,则 的取值范围为 . 解:可行域如图所示, , , , 所以 设点 是可行域内一动点, 目标函数 既是关于 的减函数,又是关于 的减函数 所以当点 与点 重合时,此时 取得最大值4, 同时 取得最大值2,此时 取得最小值为 对于每一个固定的 的值,要使 取得最大值,应使 取得最小值,即点 应位于线段 上,此时 所以 ,此时 与点 重合 综上所述,

好题速递366题 已知点 是双曲线 右支上两个不同的动点, 为坐标原点,则 的最小值为 . 解法一:韦达定理 当 存在时,设 当 不存在是, ,则 综上,

解法二: 由于 两点运动,故采取“一定一动”的原则,不妨先在 点确定的情况下,让 点运动到最小值,然后再让 点运动,即取最小值的最小值。 如图,不妨设直线 由 ,可得 , 故 显然点 运动到,在点 处的双曲线的切线(即 )与 垂直时,此时 在 上的投影达到最小值 此时切线 的方程为 故 在 上的投影等于点 到直线 的距离为 故 解法三:设 又因为 , ,所以 所以 解法四:设 , 两式相乘得 即 等式两边同时加上 ,得 故 解法五:三角换元 设 , 所以 解法六:前同解法五,令 ,则 故 故 即 故 ,又因为 ,所以 , 好题速递367题 设关于 的方程 和 的实根分别为 和 ,若 ,则 的取值范围是 . 解: 在同一个坐标系中画出 和 的图象如图所示 由 ,化简得 显然有根 ,故可因式分解为 解得 或 或 当 时, ;当 时, , 由图可知,