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高考数学好题速递400题（第351―400题带答案和解释） 好题速递351题 对任意实数 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值为 ． 解：令 则 当且仅当 ，即 时取得等号。 故 ，即 点评：本题因为分母比较复杂不整洁，所以将分母进行换元是常见的方法。 好题速递352题 若向量 满足 ，则 的最大值为 。 解：由极化恒等变形得 ， 故 即 即 故

好题速递353题 已知函数 ，且 。 对 恒成立，则 的最小值为 。 解法一：齐次化思想 根据条件有 ，则 因此 令 ，则 解法二：由题意可知 ，即 此时已经转成齐次式了，所以分子分母同除 则 当且仅当 及 时，即 时取得。 解法三：根据条件有 ，则 故 令 得 当且仅当 及 时取得最小值，即 时取得。 解法四：令 ，得 ，代入 得 解法五：待定系数法 假设 ，化简为 又 故比对系数得 ，得 因为 ，所以 因为 ，所以

好题速递354题 空间四点 满足 ， ， ， ，则 的值为 。 解： 点评：这里用到了向量点积的余弦定理形式， 即

好题速递355题 已知圆 ， ，直线 ， 在圆 上， 在直线 上，满足 ， ，则 的最大值为 ． 解：设 ， ，所以 因为 ， ， 故知 就是绕着 顺时针或逆时针旋转 得到 所以 或 即 或 在圆 上， 所以 或 即 或 两个方程中有一个有解即可， 所以 或 综上， 好题速递356题 已知实数 满足关系式 ，则 的最小值是 ． 解法一：题干中出现的全是两数的和、平方和与乘积，所以考虑用均值不等式链条。 由 或 所以 点评：这里注意因为题干中没有告诉我们 的正负性，所以不能直接用 来求 的取值范围，所以改为用重要不等式来 来做。虽然答案正好一样，但做法要注意。 解法二：遇到 结构，所以用代数的极化恒等式变形。 令 ，则问题转变为已知 ，求 的最小值。 因为 所以还需要计算定义域，即 所以 解法三：设 ，则 视为 的两根 所以 所以 或 当且仅当 时取得最小值。

好题速递357题 已知点 为圆 与圆 的公共点，圆 ，圆 ，若 ， ，则点 与直线 上任意一点 之间的距离的最小值为 ． 解：设 ， ，则 ， 所以 ，即 同理 所以 是方程 的两个实根 所以 所以点 的轨迹方程为 所以点 到直线 的最短距离为

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好题速递358题 已知向量 满足 ， ，则 的取值范围是 ． 解：（一）几何角度 由 和 可以画图，找到向量模长的几何意义。 解法一：基底法 因为 因为 三者都未知，属于一问三不知问题，所以考虑转基底做。 那么题目中哪些向量适合做基底呢？显然 两个向量长度已知，适合做基底。 （这里夹角未知是应该的，不然整个图就确定下来，就不会是求最小值了。） 所以由 三点共线，且 ，可知 所以 解法二：解三角形 设 ， 则在 与 中运用余弦定理得 解得 又在 中，利用三角形两边之和大于等于第三边得 ，即 所以 （二）代数角度 解法三：换元思想 令 ， ，则反解得 ， ，且 所以 这个做法本质上其实就是转基底，只是不是从几何图形出发，采用换元法。 解法四：平方角度 我们常说：“向量的模长一次想几何，二次想代数运算”，所以本题的两个条件也可以平方。 即 ， 这里将解得 三者视为整体，那么就属于“三个字母，两个方程，少一个，求取值范围，合情合理！”的问题 所以用要求的 表示 得 所以由题干知 ， 即 即 即 所以 故 解法五： 在解法四 的基础上，也可解得 所以要求 的最小值，只需要求 的最小值即可 这里用代数中的三角不等式“ ”来解决。 由 ，即 ，所以 所以 好题速递359题 （2015天津文科第14题）已知函数 ，若函数 在区间 内单调递增，且函数 的图像关于直线 对称，则 的值为 ． 解：由 在区间 内单调递增，且函数 的图像关于直线 对称，可得 ，且 ，得 所以 ，得

好题速递360题 若椭圆 过椭圆中心的直线交椭圆于 两点， 是椭圆右焦点，则 的周长的最小值为 ， 的面积的最大值为 ． 解：连接 ，则由椭圆的中心对称性可得 好题速递361题 （2015湖北理科第10题）设 ， 表示不超过 的最大整数. 若存在实数 ，使得 ， ，…， 同时成立，则正整数 的最大值是 ． 解：由 得 由 得 由 得 ，所以 由 得 ，所以 由 得 与 矛盾，故正整数 的最大值是4 好题速递362题 过点 的直线 交圆 于点 ， 为坐标原点，若在线段 上的 满足 ，则 ． 解：设 ， ， ，直线 则 ， ， 由 得 由 得 所以 ， 所以 所以 整理得点 满足的轨迹方程为 所以

好题速递363题 如图，已知点 为 的边 上一点， ， 为 边上一列

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点，满足 ，其中数列 满足 ， ，则 的通项公式为 ． 解：由 可得 又 ，且 故 即 因为 不共线，故 ， 两式相除消去 得 ，又 ，所以 好题速递364题 若点 在圆 : 上运动,点 在 轴上运动,则对定点 而言, 的最小值为 ． 解法1：设 , ,则 . 若设 ,则由题意可得 .即,点 在以 为圆心,以 为半径的圆 : 上. 由圆 与圆 有公共点 可得 ,从而 . 解法2：设 , ,则 . 从而, . 解法3：由点 在圆 上可设 , , 则 . 故 . 解法4：设 为 的中点,则 ,过 作 轴的垂线,垂足分别为 . 由于 , 因此 ,即 . 解法5：设 为点 关于点 的对称点， 则 . 由于点 在直线 上,点 在圆 : 上可得 . 解法6：同解法5，设 为点 关于点 的对称点,则 . 由于点 在圆 : 上,点 在 轴上可得 好题速递365题 设实数 满足 ，则 的取值范围为 ． 解：可行域如图所示， ， ， ， 所以 设点 是可行域内一动点， 目标函数 既是关于 的减函数，又是关于 的减函数 所以当点 与点 重合时，此时 取得最大值4， 同时 取得最大值2，此时 取得最小值为 对于每一个固定的 的值，要使 取得最大值，应使 取得最小值，即点 应位于线段 上，此时 所以 ，此时 与点 重合 综上所述，

好题速递366题 已知点 是双曲线 右支上两个不同的动点， 为坐标原点，则 的最小值为 ． 解法一：韦达定理 当 存在时，设 当 不存在是， ，则 综上，

解法二： 由于 两点运动，故采取“一定一动”的原则，不妨先在 点确定的情况下，让 点运动到最小值，然后再让 点运动，即取最小值的最小值。 如图，不妨设直线 由 ，可得 ， 故 显然点 运动到，在点 处的双曲线的切线（即 ）与 垂直时，此时 在 上的投影达到最小值 此时切线 的方程为 故 在 上的投影等于点 到直线 的距离为 故 解法三：设 又因为 ， ，所以 所以 解法四：设 ， 两式相乘得 即 等式两边同时加上 ，得 故 解法五：三角换元 设 ， 所以 解法六：前同解法五，令 ，则 故 故 即 故 ，又因为 ，所以 ， 好题速递367题 设关于 的方程 和 的实根分别为 和 ，若 ，则 的取值范围是 ． 解： 在同一个坐标系中画出 和 的图象如图所示 由 ，化简得 显然有根 ，故可因式分解为 解得 或 或 当 时， ；当 时， ， 由图可知，