3.1 矩阵的初等变换及其应用 在科学技术与经济管理领域，线性方程组是许多问题的数学模型，因此，线性方程组的求解问题十分重要，本章将研究更一般的线性方程组的求解问题。 一、矩阵的初等变换 用消元法求解简单线性方程组时，其消元步骤是对方程组施以下列变换： (i) 对调某两个方程在方程组中的位置； (ii) 以数乘某一方程的两端； (iii) 把某一方程的两端乘以数后加到另一方程的两端. 这些变换称为线性方程组的初等变换，由此引出矩阵的初等行变换. 定义6 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: (i) 对调两行(对调两行,记作); (ii) 以数乘某一行中的所有元素(第行乘,记作); (iii) 把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去(第行的倍加到第行上,记作). 把定义中的行换成列,即得矩阵的初等列变换的定义. 1 / 11

矩阵的初等行变换与初等列变换,统称为矩阵的初等变换. 如果矩阵Ａ经有限次初等变换变成矩阵Ｂ,就称矩阵Ａ与Ｂ等价,记作Ａ～Ｂ . 显然,三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是同一类型的初等变换:变换的逆变换就是其本身;变换的逆变换为 (或记作);变换的逆变换为(或记作). 矩阵的等价关系满足以下三个性质： (i) 自反性：Ａ～Ａ; (ii) 对称性：若Ａ～Ｂ，则Ｂ～Ａ; (iii) 传递性：若，，则. 利用等价关系可以将矩阵分类，我们将具有等价关系的矩阵作为一类.显然，具有等价关系的矩阵所对应的方程组有相同的解. 通过对矩阵施行初等行变化，可以将矩阵化简，例如 2 / 11

上式中最后一个矩阵称为行阶梯形矩阵，它的特点是：可以画出一条阶梯线，每个阶梯只有一行，阶梯线下方的元素全是零，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零，阶梯数为非零行的行数. 继续施行行变换,还可以化为更简单的形式: 3 / 11