实验报告

实验名称 时间测量中随机误差的分布规律

实验目的 用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量

的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。

实验仪器 机械节拍器，电子秒表。 实验原理 1.常用时间测量仪表的简要原理

（1）机械节拍器

（2）电子节拍器 （3）电子秒表

（4）VAFN多用数字测试仪

用电子秒表测量机械节拍器发声的时间间隔,机械节拍器按一定的频率发出有规律的声响，电子秒表用石英晶体振荡器作时标,一般用六位液晶数字显示,其连续积累时间为59min59.99s,分辨率为0.01s,平均日差0.5s。 2.统计分布规律的研究

假设在近似消除了系统误差（或系统误差很小，可忽略不计，或系统误差为

一恒定值）的条件下，对某物理量x进行N次等精度测量，当测量次数N趋向无穷时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布（有成高斯分布）的概率密度函数表示，

(x-x)2f(x)?exp[-] （1） 22??2?1其中 x??xi?1ninn （2）

???(xi?1ai-x)2 （3）

n-1 P(a)?f(x)dx （4）

-a?式中a=σ，2σ，3σ分别对应不同的置信概率。

（1）统计直方图方法

用统计直方图表示被研究对象的规律简便易行，直观清晰。

在一组等精度测量所得的N个结果x1，x2，…，xN中，找出它的最大值xmax与最小值xmin，并求出级差R=xmax - xmin，由级差分为K个小区间，每个

小区域的间隔（△x）的大小就等于

Rxmax-xmin?。统计测量结果出现KKn在某个小区域内的次数ni称为频数，i为频率，

N为频率密度。以测量值x值为横坐标，以

?nNi为累计频率，称

ni为纵坐标，便可得到统计

N??x直方图。

（2）概率密度分布曲线

利用式（1）求出各小区域中点的正态分布的概率密度值f（x），以f（x）为纵坐标，x为横坐标，可得概率密度分布曲线。若概率密度分布曲线与统计直方图上端相吻合，则可以认为测量值是基本符合正态分布的。实际测量中，受测试者的心理因素，外界环境，仪器系统误差，测量次数不可能无穷多等影响，二者不完全重合是很常见的，因此测量值仅是基本符合正态分布。

实验内容 1.时间间隔测量

用电子秒表测量机械节拍器的摆动周期，测量次数要在200次以上。

2.统计规律研究 (时间测量要求在相同的条件下，重复测量200次以上)。

（1）利用式（2）和式（3）计算x和σ。

（2）利用式（1）计算各区中点的f（x）值。

（3）根据测量结果的离散程度，极限差R的大小，合理划分小区间数K，确定其间隔，计算各区间的频率、相对频率、相对频率密度和累计频率，以频率密度为纵坐标，测量值x为横坐标，作统计直方图，并将f（x）—x中曲线绘在统计直方图中，检验测量值分布是否符合正态分布。

（4）利用式（4）计算测量列误差出现在±σ，±2σ，±3σ范围内的概率。 （5）计算测量平均值的标准差，并正确写出测量结果完整的表达式。

测量记录 原始数据记录如下表：

单位:秒（s） 4.00 3.97 3.91 3.95 3.96 3.94 4.06 3.91 3.92 3.98 4.00 4.02 3.97 4.01 3.95 3.99 4.01 3.90 4.07 3.98 3.99 3.92 4.01 4.00 4.06 4.04 4.03 4.08 4.00 3.99 3.94 3.97 4.01 4.01 4.04 3.97 4.00 3.99 4.09 3.99 4.03 3.99 3.95 4.01 4.01 4.04 3.97 4.06 4.02 3.97 3.99 3.95 3.97 4.02 3.98 4.02 3.96 4.02 3.99 4.04 4.04 3.97 4.05 3.98 3.92 3.94 3.93 4.01 4.04 3.99 3.94 4.02 4.00 4.04 3.97 4.02 3.98 4.01 3.94 3.97 4.01 4.04 3.96 3.96 3.99 3.95 3.96 4.04 4.05 3.95 3.99 3.99 3.98 4.03 4.02 3.98 4.01 3.99 4.02 4.02 3.97 4.00 4.04 3.96 4.05 4.00 4.02 3.94 3.95 4.02 3.97 4.01 4.06 4.01 3.98 4.06 3.99 4.02 4.02 4.02 3.99 4.01 3.96 4.00 4.00 4.04 3.99 4.01 3.89 4.10 3.95 4.08 4.03 3.96 4.08 3.98 4.06 3.98 4.03 4.03 3.99 3.98 4.00 4.02 3.98 4.03 4.03 3.99 3.94 4.02 3.99 4.03 4.06 3.92 3.98 4.00 3.95 4.03 4.00 3.98 4.02 4.00 4.03 4.02 4.02 3.97 4.03 3.94 3.95 3.96 4.05 4.00 4.04 3.95 4.08 3.96 4.00 4.01 3.98 3.95 3.99 3.98 4.01 3.98 4.04 3.99 4.02 3.98 4.00 3.98 3.97 3.96 3.99 3.99 4.08 4.02 4.06 4.06 4.01 4.00 数据处理

对原始数据进行处理，最大值xmax=4.10s，最小值xmin=3.89s，平均值x=3.997s，

标准差σ=0.041，R=0.21，取K=10，则△x=0.021，得下表：

小区域/s 小区域中点值/s 3.896 3.918 3.938 3.960 3.980 4.002 4.022 4.044 4.064 4.086 4.106 频数ni 2 7 8 23 31 43 40 25 13 6 2 频率(ni/N)% 1.0 3.5 4.0 11.5 15.5 21.5 20.0 12.5 6.5 3.0 1.0 累计频率(∑ni/N)% 1.0 4.5 8.5 20.0 35.5 57.0 77.0 89.5 96.0 99.0 100.0 正态分布频率密度函数值f(xi) ni N??x3.886~3.907 3.907~3.928 3.928~3.949 3.949~3.970 3.970~3.991 3.991~4.012 4.012~4.033 4.033~4.054 4.054~4.075 0.468 1.520 3.455 6.476 8.929 9.658 8.080 5.044 2.560 0.922 0.284 0.5 1.75 2.00 5.75 7.75 10.75 10.00 6.25 3.25 1.50 0.50

4.075~4.096

4.096~4.117

利用origin7.5作图如下： ni A Gauss fit of Count2_A10N??xData: Count2_AModel: GaussEquation: y=y0 + (A/(w*sqrt(PI/2)))*exp(-2*((x-xc)/w)^2)Weighting: yNo weighting Chi^2/DoF= 0.27425R^2= 0.98637 y00.55512±0.37161xc4.00413±0.00145w0.06941±0.00454A0.87912±0.07489864203.903.954.004.054.10time x/s

P(σ)=0.690，P(2σ)=0.948，P(3σ)=0.990

（理论值 P(σ)=0.683，P(2σ)=0.954，P(3σ)=0.997）

由上述计算和图表，在一定误差范围内，该测量列基本符合正态分布。

算术平均值的标准差uA=

?n=0.0029，即为A类不确定度。

考虑置信概率P=0.95的情况, 电子秒表误差分布为正态分布，可取

t0.95=1 ?仪=0.01s c=3

B类不确定度在0.95的置信概率下置信因子为k=1.96

由不确定度合成公式得

U0.95?（t0。95uAt)?(k2?仪c2=0.02 P=0.95 ）误差分析 1.测量次数为有限次，不可能为无穷大，结果会偏离正态分布。

2.测量仪器本身存在系统误差，结果不能十分精确。

3.受外部因素的干扰较多，很多人围在一起测量，会彼此受到影响。

4.测量200多次，一个人要按400多次秒表，手指会产生疲倦感，按钮超前或

延后，导致测量结果偏离。

思考题 1.测量次数为有限次，不可能为无穷大，测量仪器本身存在系统误差，测量200

多次，一个人要按400多次秒表，手指会产生疲倦感，受外部因素的干扰

较多，很多人围在一起测量，会彼此受到影响等很多因素，都会产生偏离。

2.若不考虑系统误差的条件下，对某一物理量进行多次等精度测量时随机误差

的分布规律理论上呈正态分布，得到一条连续光滑的曲线，并且P(σ)=0.683，P(2σ)=0.954，P(3σ)=0.997。具有对称性，单峰性，有界性和抵偿性（即误差的算术平均值随着n趋向无穷而趋于零）。