y y 11 aa 0 a x 0 a x (a) p(x)的图形 (b) F(x)的图形

(0,a)上的均匀分布

3．连续型随机变量分布函数的特征

结论3 设?为连续型随机变量，F(x)是其分布函数，则F(x)是连续函数。 证明 ∵ (Fx)是连续型随机变量的分布函数

?由定义，存在非负可积函数p(x)，对?x????,???有

F?x?????t?dt

??x 又由变动积分上限函数的性质可知， (Fx)连续 故 (Fx)是R上的连续函数。 4.非离散非连续的随机变量

除了离散型和连续型分布之外，还有既非离散又非连续的分布，见下例。

例：以下函数确是一个分布，它的图形如图所示。

x?0,?0,?1?x?F(x)??,0?x?1,2?x?1.??1,y

1

0.5

0 1 x 既非离散又非连续的分布函数示例

8

从图上看出，它既不是阶梯函数，又不是连续函数，所以它既是非离散的又是非连续的分布。这类分布函数 (Fx)常可分解为两个分布函数的凸组合，如上例中的分布函数可分解为

F(x)?11F1(x)?F2(x) 22其中

?0,0,x?0,?? F2(x)??x,F1(x)???1,x?0.?1,?x?0,0?x? 1,x?1.F1x)是而 (（离散）单点分布函数， （连续）均匀分布U(0,1)的分布函数。 F2(x)是

三、既不离散也不连续的随机变量及其判别

（一）随机变量的判别

由结论1的逆否命题可得，

结论4 若随机变量?的分布函数 (Fx)不是阶梯函数，则?一定是非离散型随机变量。

由结论3的逆否命题可得，

结论5 若随机变量?的分布函数 (Fx)不是连续函数，则?一定是非连续型随机变量。

（二）既不离散也不连续的随机变量的判别

既非离散又非连续的随机变量的分布函数具有不同于离散型、连续型随机变量分布函数的特点[3]。

（1）分布函数是右连续，但却不是在每一个分段区间内是常函数，这一点区别于离散型随机变量的分布函数。

（2）分布函数不是连续函数，在某些点处有跳跃性，这一点区别于连续型随机变量的分布函数。

综上，我们可以得到一个既不离散也不连续随机变量的判别条件。

Fx)既不是阶梯函数又不是连续函数，则?一结论6 若随机变量?的分布函数 (定是既不离散也不连续的随机变量。

例4 已知函数

x?0?0,?F?x???0.5(x?1),0?x?1

?1,x?1?9

证明： (Fx)是既不离散也不连续的某个随机变量?的分布函数。 证: 先证 (Fx)是?的分布函数。

(1)单调性：设x1?x2，

若x1、x2?0，则F?x1??F?x2??0 ; 若x1?0，x2?0，则0?F?x1??F?x2?;

若0?x1、x2?1，则F?x2??F?x1??0.5?x2?1??0.5?x1?1??0.5?x2?x1??0，

故F?x1??F?x2?;

若0?x1?1，x2?1，则F?x1??1?F?x2?，故F?x1??F?x2?; 若x1、x2?1，则F?x1??F?x2??1; 综上，F?x1??F?x2?.

(2)有界性：F?????xlim???F?x??0, F?????xlim???F?x??1;

(3)右连续性：只需考虑间断点0、1处的连续性。 F(0?0)?F(0?)F0,?(1?F0)? (1 ?F(x?0)?F(x )，故F?x?右连续。 ?F(x)可作为某随机变量?的分布函数。 再证 (Fx)是非离散非连续随机变量的分布函数。

易见 (Fx)是以x?0为间断点的非连续函数，同时也非阶梯函数。故由结论6，是既不离散也不连续的随机变量。

例5设随机变量的分布函数为

问随机变量?是离散型，还是连续型？

证：利用分布函数的性质来判断此函数在x?2处不连续， ∴?不是连续型随机变量。

∵此分布函数在区间(0,2]上不是常函数， ∴?不是离散型随机变量，

故?为既非离散又非连续的随机变量。

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? （三）考研中常见的非离散非连续的随机变量示例

在研究生入学考试中，对单纯的连续性和离散型随机变量的考查越来越少，反而对这种既不离散也不连续的随机变量考察加重，更注重考生们对知识点综合应用的能力，下面给出几个近几年考研中出现的此种类型的例子。

111.（1997，11）：假设随机变量X的绝对值不大于1，P?X??1??,P?X?1??,84在事件??1?X?1? 出现的条件下， X在??1,1?内任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比。试求

（1）X的分布函数F(x)?P?X?x?; (2) X取负值的概率p.

11由于P?X??1??,P?X?1??,在X??1和X?1这两点可以作为离散型的情况

84来处理。在其它情况下可作为连续型的情况来处理，且在??1,1?内服从均匀分布， X115在此区间内取值的概率为P??1?X?1??1???.

848因此，X的分布函数为

?0,x??1?51?F?x???(x?1)?,?1?x?1

8?16x?11,??易见，F?x?既非阶梯函数又不是连续函数，所以由结论6可知，X是既不离散也不连续的随机变量。

2.（2002）假设以设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故障工作的时间（EX）为5小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作两小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F(y).

解：设X的分布参数为?，由于EX?11.易见Y?min?X,2?. 5y5??5，可知??当y?0时，F(y)?0；当y?2时，F(y)?1;

当0?y?2时，F(y)?P?Y?y??P?min(X,2)?y??P?X?y??1?e.

y?0,?0，?y??Y的分布函数F(y）=?1?e5,0?y?2,

?1,y?2.???3.（99，4，3分）假设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y?min?X,2?的分布函数（ ）

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