第55讲 二面角的求法

【知识要点】 一、二面角的定义

平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分叫做半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做这个二面角的平面角. 二、二面角的范围

规定：二面角的两个半平面重合时，二面角为00，当两个半平面合成一个平面时，二面角为1800，因此，二面角的大小范围为?00,1800?.

??三、二面角的求法

方法一：（几何法）找?作（定义法、三垂线法、垂面法）?证（定义）?指?求（解三角形） 方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量m,n；再代入公式cos???m?nmn（其中m,n分别是

两个平面的法向量，?是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“?”号） 四、求二面角体现的是数学的转化的思想，就是把空间的角转化为平面的角，再利用解三角形的知识解答. 【方法讲评】 方法一 使用情景 解题步骤 几何法 二面角的平面角本身就存在或方便作出来. 找?作（定义法、三垂线法、垂面法）?证（定义）?指?求（解三角形） 【例1】如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，?ABC?600，PA?面ABCD，且PA?3，F在棱PA上，且AF?1，E在棱PD上.

（1）若CE//面BDF，求PE:ED的值； （2）求二面角B?DF?A的余弦值.

（2）过点B作BH?直线DA交DA延长线于H，过点H作HI?直线DF交于I， ∵PA?面ABCD,∴面PAD?面ABCD，∴BH?面PAD，由三垂线定理可得DI?IB, ∴?BIH是二面角B?DF?A的平面角. 由题意得AH?HIAF13399103,HD?，且??，BH?，∴HI?, 2220HDDF210∴tan?BIH?39332030，∴二面角B?DF?A的余弦值为. ??1329103【点评】（1）本题第2问也可以利用向量的方法解答.(2)第2小问的解答实际上是利用了几何的方法，利用三垂线定理作出二面角的平面角，再解三角形.这是几何法求二面角常用的一种方法，大家务必熟练掌握灵活运用.

【反馈检测1】如图所示，四边形ABCD是菱形，O是AC与BD的交点，SA?平面ABCD.

（Ⅰ）求证：平面SAC?平面SBD；

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（Ⅱ）若?DAB?120?，DS?BS，AB=2，求二面角S?BC?A的余弦值. 方法二 使用情景 向量法 二面角的平面角不易作出来. 建立空间直角坐标系?求出两个平面的法向量m,n?代入公式cos???解题步骤 m?nmn（其中m,n分别是两个平面的法向量，?是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“?”号） 【例2】已知四棱锥P?ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，?DAB?90°，PA?底面ABCD，且PA?AD?DC?1AB?1，M是PB的中点． 2（1） 证明：面PAD?面PCD； （2） 求AC与PB所成的角；

（3） 求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值．

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