解（1）动能和势能相等时，有 Ep?1E 2即
121122kx??kA x??A??0.141m 2222得?0（2）由题意可知 x0?A,?0?0,?0，达动能和势能相等处所需的最短时间?t应满足
??t?π,而??4πk2??2/s，所以 ?t?s
8M0.511-10 一摆在空中振动，某时刻，振幅为由振幅为
A0?0.03m，经t1?10s后，振幅变为A1?0.01m。求
A0时起，经过多长时间，其振幅减为A2?0.003m。
解 阻尼振动的振幅 将tA?A0e??t
?0,A0?0.03m及t1?10s,A1?0.01m代入上式，得
?1A01ln?ln3 t1A110 ?振幅减为
A2?0.003m的时间，由A2?A0e??t2，得
?1lnA010ln10??21(s) A2ln3 t2?11-11 两个同方向且具有相同振幅和频率的简谐振动合成后，产生一个具有相同振幅的简谐振动，求这两个简谐振动的相位差。
解 解析法：设两振动的表达式为 x1?Acos??t??10?， x2?Acos??t??20? x?Acos??t??10??Acos??t??20? ?2Acos则合振动的表达式为
?20-?102?????cos??t?2010?
2???1,所以两振动的相位差为 2
习题11-11解用图
由合振幅为A得cos?20-?1022????20-?10??π
3??????旋转矢量法：设两振动的振幅矢量为A1和A2，则合振动的振幅矢量为A?A1?A2，即A是以
??。因为A1?A2?A,所以A1与A2之间的夹角为A1和A2为邻边的平行四边形的对角线（如解用图）
2π，即两振动之间的相位差为 32????20-?10??π
311-12一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动：
x0.04cos???2t?π??5π?1?6??m, x2?0.03cos??2t-6??m,
试求其合振动的振幅、初相位和振动表达式。
解
?20??10??π 两者反相 A?0.04?0.03?0.01，?π0?6 x?0.01cos???2t?π?6??m
11-13 有两个同方向同频率的谐振动，其合成振动的振幅为0.2m，与第一振动的相位差为
π6 ，第一振动的振幅为0.13m，求第二振动的振幅及第一、第二两振动的相位差。
解 如解用图
A2π2?A?A21?2AA1cos6?0.1m cos(π???)?A2A21?2?A22A
1A2A2?A22cos???1?A22A?0, ????ππ20??10?,or?
1A222解用图1中给的是???π2的情况。如解用图2给出????π2的情况.
A?2?A? A1πA? ??π6 6?? A?A?12 习题11-13解用图1
习题11-13解用图2
11-14质量为0.1kg的质点同时参与互相垂直的两个简谐振动，其振动表达式分别为
x?0.06cos??πtπ??πtπ??3?3??m, y?0.03cos??3-6??m。 若 求（1）质点的运动轨迹；（2）质点在任一时刻所受的作用力。
解（1）互相垂直的两个简谐振动，其合成的轨迹方程的一般形式为：
x2y2xy2????20??10? ??2xycos????sin201022A1A2A1A222π，代入上式得 x?y?1
?20??10??220.060.032且质点的运动是逆时针绕行。
（2）质点的运动方程为 r其中x????t??x?t?i?y?t?j
?t?、y?t?分别为两振动表达式。
?d2x?d2y?i?2j 由运动方程可得加速度 a?dt2dt由题给两振动表达式，对时间求二阶导数后，代入上式得
2???π?? a???2r????r
?3?所以，质点在任一位置所受的作用力为
?0.1π2???2?F?ma??m?r??r??0.11r
911-15 如图所示，两个相互垂直的谐振动的合振动图形为一椭圆，已知x方向的振动表达式为
x?0.01cos2πtm，求y方向的振动表达式．
解 因合振动是一正椭圆，故知两分振动的位相 差????20??10?π2或?π；又，轨道是按顺 2.所以
y/(10-2m)时针方向旋转，故知??达式为
?π2y方向的振动表
x/(10-2m)
习题11-15图
πy?0.02cos(2πt?)m
2