第十章 多元函数微分学 一、 本章提要 １．基本概念
多元函数，二元函数的定义域与几何图形，多元函数的极限与连续性，偏导数，二阶偏导数，混合偏导数，全微分，切平面，多元函数的极值，驻点，条件极值，方向导数，梯度． ２．基本方法
二元函数微分法：利用定义求偏导数，利用一元函数微分法求偏导数，利用多元复合函数求导法则求偏导数． 隐函数微分法：拉格朗日乘数法． ３．定理
混合偏导数与次序无关的条件，可微的充分条件，复合函数的偏导数，极值的必要条件，极值的充分条件． 二、要点解析
问题１ 比较一元函数微分学与二元函数微分学基本概念的异同，说明二元函数在一点处极限存在、连续、可导、可微之间的关系．
解析 (1)多元函数微分学的内容是与一元函数微分学相互对应的．由于从一元到二元会产生一些新的问题，而从二元到多元往往是形式上的类推，因此我们以二元函数为代表进行讨论．
如果我们把自变量看成一点P，那么对于一元函数，点P在区间上变化；对于二元函数f(x,y)，点P(x,y)将在一平面区域中变化．这样，无论对一元、二元或多元函数都可以统一写成 u=f(P)，
它称为点函数．利用点函数，我们可以把一元和多元函数的极限和连续统一表示成
P→P0limf(P)=A,limf(P)=f(P0)． P→P0
（２）二元函数微分学与一元函数微分学相比，其根本区别在于自变量点P的变化从一维区间发展成二维为区域．在区间上P的变化只能有左右两个方向；对区域来说，点的变化则可以有无限多个方向．这就是研究二元函数所产生的一切新问题的根源．例如，考察二元函数的极限 limxy， x→0x2+y2
y→0
容易看出，如果先让x→0再让y→0，那么 lim(limy→0x→0xy)=lim0=0， 22y→0x+y 同样，先让y→0再让x→0，也得到 lim(limx→0y→0xy)=0， 22x+y
但是如果让(x,y)沿直线y=kx(k≠0)而趋于(0,0)，则有 xykx2klim2=lim=， 2x→0x+y2x→0x2(1+k2)1+ky→kx 它将随k的不同而具有不同的值，因此极限
limxy x→0x2+y2 y→0
不存在，从这里我们可以体会到，从一维跨入二维后情况会变得多么复杂． 又如，在一元函数中，我们知道函数在可导点处必定连续，但是对于二元函数来说，这一结论并不一定成立．考察函数 ?xy22,x+y≠0,?2z=f(x,y)=?x+y2
?x2+y2=0,?0,
fx'(0,0)=lim?x→0 f(0+?x,0)-f(0,0)0-0=lim=0， ?x→0?x?x 同样 fy'(0,0)=lim?y→0f(0,0+?y)-f(0,0)0-0=lim=0， ?y→0?y?y 所以f(x,y)在(0,0)点可导．然而，我们已经看到极限
limf(x,y)=limx→0y→0xy x→0x2+y2 y→0
不存在，当然f(x,y)在(0,0)不连续．
多元可导函数与一元可导函数的这一重大差异可能使初学者感到诧异，其实仔细想一想是可以理解的．因为偏导数fx'(0,0)实质上是一元函数f(x,0)在x=0处关于x的导数．它的存在只保证了一元函数f(x,0)在点x=0的连续．同理，偏导数fy'(0,0)的存在保证了f(0,y)在y=0点的连续，从几何意义来看，z=f(x,y)是一张曲面，z=f(x,0)，y=0为它与平面y=0的交线，z=f(0,y)，x=0为它与平面x=0的交线．函数z=f(x,y)在（0,0）处的可导，仅仅保证了上述两条交线在（0,0）处连续，当然不足以说明二元函数z=f(x,y)即曲面本身一定在（0,0）处连续． （３）在一元函数中，可微与可导这两个概念是等价的．但是对于二元函数来说，可微性要比可导性强，我们知道，二元函数的可导不能保证函数的连续，但若z=f(x,y)在(x0,y0)可微，即全微分存在，那么有全增量的表达式 ?z=fx'(x0,y0)?x+fy'(x0,y0)?y+o(ρ) 其中当ρ→0时，o(ρ)→0，从而
lim?z=0， ?x=0?y=0
因此函数在(x0,y0)可微，那么它在(x0,y0)必连续．
函数是否可微从定义本身可以检验，但不太方便．然而我们有一个很简便的充分条件：若f(x,y)在(x0,y0)不仅可导而且偏导数都连续，那么f(x,y)必在(x0,y0)可微．函数f(x,y)的偏导数是容易求得的，求出两个偏导数后在它们连续的点处，全微分立即可以写出：
dz=fx'(x,y)dx+fy'(x,y)dy． （４）二元函数的极限、连续、偏导、可微关系图：
极限
存在 偏导数连
问题２ 如何求多元函数的偏导数？
解析 求多元函数的偏导数的方法，实质上就是一元函数求导法．例如，对x求偏导，就是把其余自变量都暂时看成常量，从而函数就变成是x的一元函数．这时一元函数的所有求导公式和法则统统可以使用．
对于多元复合函数求导，在一些简单的情况，当然可以把它们先复合再求偏导数，但是当复合关系比较复杂时，先复合再求导往往繁杂易错．如果复合关系中含有抽象函数，先复合的方法有时就行不通．这时，复合函数的求导公式便显示了其优越性．由于函数复合关系可以多种多样，在使用求导公式时应仔细分析，灵活运用．
例1 设z=esiny,求xy?z?z,． ?x?y ?z=yexysiny， ?x解 直接求偏导数 ?z=xexysiny+exycosy ， ?y 利用全微分求偏导数
dz=sinydexy+exydsiny
=exysiny(ydx+xdy)+exycosydy =yexysinydx+(xexysiny+exycosy)dy， 所以 ?z?z=yexysiny,=xexysiny+exycosy． ?x?y ?z?z,． ?x?y例2 设z=f(exy,siny),求 解 由复合函数求导法则，得 ?z=f1(exy,siynx)?yey， ?x
?z=f1(exy,siny)exy?x+f2(exy,siny)cosy， ?y
其中f1,f2分别表示f(exy,siny)对exy,siny的偏导数． 问题3 二元函数的极值是否一定在驻点取得？