如何辨析平均数、众数、中位数哪一个更具代表性

今天教完中位数以后，发现部分学生对平均数、众数、中位数需要进一步明晰三个统计量的关系：

一、概念：

平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。

中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数 。

众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。 二、求法

平均数：用所有数据相加的总和除以数据的个数,需要计算才得求出。 中位数：将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数。它的求出不需或只需简单的计算。

众数：一组数据中出现次数最多的那个数，不必计算就可求出。 三、相同点

平均数、众数和中位数都叫统计量，它们在统计中，有着广泛的应用。平均数、中位数、众数都是描述数据的集中趋势的“特征数”，平均数、中位数和众数从不同侧面给我们提供了同一组数据的面貌，平均数和中位数都有单位(众数如果表示的是数时，也有单位)；它们的单位和本组数据的单位相同。三者都可以作为一组数据的代表。

四、不同点

在一组数据中，平均数和中位数都具有惟一性，但众数有时不具有惟一性。在一组数据中，可能不止一个众数，也可能没有众数。

平均数：平均数具有惟一性，是通过计算得到的，它不是数据中的原始数据。 反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体 “平均水平”。

中位数：中位数具有惟一性，当一组数据有奇数个时，它就是该组数据排序后最中间的那个数据，是这组数据中真实存在的一个数据；但在数据个数为偶数的情况下，中位数是最中间两个数据的平均数，它不一定与这组数据中的某个数

据相等，此时的中位数就是一个虚拟的数。 像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组数据的“中等水平”。

众 数：是一组数据中的原数据 ，它是真实存在的。反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”。

这三个统计量虽反映有所不同，但都可表示数据的集中趋势，都可作为数据一般水平的代表。

五、各自优缺点 1、平均数的优点。

反映一组数的总体情况比中位数、众数更为可靠、稳定，它也是学生今后学习计算离差、相关和统计推断的基础。

平均数的缺点。

平均数需要整批数据中的每一个数据都加人计算，因此，在数据有个别缺失的情况下，则无法准确计算。一组数据的每一个数据都要参加计算才能求出，特别是当一组数量较大的数据，其计算的工作量也较大。平均数易受极端数据的影响，从而使人对平均数产生怀疑。这也就是为什么在许多竞赛场合下对评委亮分后的成绩分数，要去掉一个最高分和一个最低分，尔后再计算平均数的一种考虑。

2、中位数的优点。

简单明了，很少受一组数据的极端值的影响。 中位数的缺点。

中位数不受其数据分布两端数据的影响，因此中位数缺乏灵敏性，不能充分利用所有数据的信息。当观测数据已经分组或靠近中位数附近有重复数据出现时，则难以用简单的方法确定中位数。

3、 众数的优点。

比较容易了解一组数据的大致情况，不受极端数据的影响，并且求法简便。 众数的缺点。

当一组数据变化很大时，它只能用来大略地估计一组数据的集中趋势。 六、辨析

平均数：看平均数是否具有代表性，主要看它在一组数据中所处的位置，也就是看它能否代表大多数数据的水平。

中位数：看中位数是否具有代表性，主要看处于它两侧的数据大小是否均衡。 众数：同样个数的数据中，众数出现的次数越多，这个众数也就越具有代表性。

平均数、中位数和众数从不同的侧面向我们提供了一组数据的面貌，我们可以把这三种特征数作为一组数据的代表，但它们所表示的意义是不同的。

选用它们表示一组数据的集中趋势时，一般是遵循“多数原则”，即哪种特征数能代表这组数据的绝大多数，正确选用合适的特征数来说明、评价、分析实际问题，避免误用和滥用。

关于平均数、中位数、众数的知识可以总结为：

分析数据平中众，比较接近选平均，相差较大看中位，频数较大用众数； 所有数据定平均，个数去除数据和，即可得到平均数；大小排列知中位； 整理数据顺次排，单个数据取中问，双个数据两平均；频数最大是众数。