因为，一般情况下，相关投入和产出的数量数据比较容易得到，而要素价格等信息的获取通常比较困难，有时甚至不可能；（2）适用于多个国家或地区跨时期的样本分析；（3）可以进一步分解为技术效率变化指数和技术进步指数。

从t时期到t?1时期，度量全要素生产率增长的Malmquist指数可以表示为：

tt?1?d0(xt?1,yt?1)d0(xt?1,yt?1)?M0(xt?1,yt?1,xt,yt)??t??t?1d(x,y)d(x,y)?0tt?0tt??1/2 （1）

tt?1式（1）中，(xt?1,yt?1)和(xt,yt)分别表示（t?1）时期和t时期的投入和产出向量；d0和d0分别表

示以t时期技术Tt为参照，时期t和时期（t?1）的距离函数。

以t时期技术Tt为参照，基于产出角度的Malmquist指数可以表示为：

tttM0(xt?1,yt?1,xt,yt)?d0(xt?1,yt?1)/d0(xt,yt) （2）

类似地，以t?1时期技术Tt?1为参照，基于产出角度的Malmquist指数可以表示为：

t?1t?1t?1M0(xt?1,yt?1,xt,yt)?d0(xt?1,yt?1)/d0(xt,yt) （3）

为避免时期选择的随意性可能导致的差异，仿照Fisher理想指数的构造方法，Caves et al.（1982）用式

（2）和式（3）的几何平均值即（1）式，作为衡量从t时期到t?1时期生产率变化的Malmquist指数。该指

数大于1时，表明从t时期到t?1时期全要素生产率是增长的。

根据上述处理所得到的Malmquist指数具有良好的性质，它可以分解为不变规模报酬假定下技术效率变化指数（EC）和技术进步指数（TP），其分解过程如下：

t?1ttd0(xt?1,yt?1)?d0(xt?1,yt?1)d0(xt,yt)?M0(yt?1,xt?1,yt,xt)???t?1?t?1?td0(xt,yt)d(x,yC)d(x,y)?0?t?1t?10tt??1/2 （4）

?EC?TP

其中技术效率变化指数还可进一步分解为纯技术效率指数（PC）和规模效率指数（SC）。

为了度量Malmquist生产率指数，需要借助线性规划方法来计算有关投入和产出的各种距离函数。对于t时期到t?1时期第i个省服务业全要素生产率的变化，需要计算如下四个基于DEA的距离函数：

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?d?1t(x,y)0tt?t?1?max?,?? d0(xt?1,yt?1)???1?max?,??s.t. ??yit?Yt?1??0 s.t. ??yi,t?1?Yt?1??0 xit?Xt?1??0 xi,t?1?Xt?1??0 ??0 ??0 ?dt0(xt?1,yt?1)??1t?1?max?,?? d0(xt,yt)???1 （5）

?max?,?? s.t. ??yi,t?1?Yt??0 s.t. ??yit?Yt?1??0 xi,t?1?Xt??0 xit?Xt?1??0 ??0 ??0

3.1.2 DEA模型

数据包络分析(Data Envelopment Analysis，简称DEA)是著名运筹学家A.Charnes 和W.W.Copper等学者以”相对效率”概念为基础，根据多指标投入和多指标产出对相同类型的单位(DMU)进行相对有效性或效益评价的一种新的系统分析方法。它是处理多目标决策问题的好方法.其实质是根据一组关于输入输出的观察值，采用数学规划模型，凡是处在生产效率前沿的。DEA认定其投入产出组合最有效率的，将其值定是1，不在生产效率前沿被认定是无效率，同时给定一个效率指标(大于0，小于1)。 设某个决策单元(DMU)在一项生产活动中的输入向量为

输出向量为

x?(x1,x2,...xm)T，

y?(y1,y2,....yn)T。

那么我们可以用(x,现在有n个

y)来表示这个表示这个DMU整个生产活动.

，DMUj对应的输入，输出向量分别为:

DMUj(1?j?n)xj?(x1j,x2j,...xmj)T?0,j?1,2,..,nyj?(y1j,y2j,...ysj)?0,j?1,2,...,n而且xij

每个决策元DMUj都有相应的效率评价指数:

T

?0,yrj?0,i?1,2,...,m;r?1,2,...,s

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hj?uTyjvxjT??uyrr?1msrj?vxi?1,j?1,2,...,n

iijv?(v1,v2,...vm)T,u?(u1,u2,...us)T

事

，输出向量的权向量的值，然后在分析过程中根据规则来确定权向量的值.采用

Charnes-cooper变化，即令:

t?1,??tv,??tu vTxo?maxhj0??Ty0?t?Txj??Tyj?0,j?1,2,...,n?s..上式线变成了如下线性规划: (p)?

T??x0?1????0,??0?min??n?s..t??jxj??x0?j?1?n?该线性规划的对偶规划为 (D)???jyj?y0

?j?1???0,j?1,2,...n?j??无约束??应用线性规划对偶理论，我们可以通过对偶规划(D)来判断DMUj0的有效性.

3.1.3 多分类Logistic回归 3. 1. 3. 1 模型的基本形式

对于自变量是连续变量或计数型变量，且因变量每个取值的概率范围均为0～1的情况，都可以用

Logistic回归方法对因变量的概率取之建立回归模型。设因变量有j个取值水平，可以对其中的j?1个水

平，各做一个回归方程。

因变量取第i个水平是的Logistic回归模型设为ln()??i0???ipxp，这样，对于建立的每一个

1?pjp?1pjm 8

Logistic模型都将获得一组回归系数，如果因变量具有3种分类，就将获得两组非零的回归参数。

3.1.3.2 Logistic回归模型的参数估计

对Logistic回归模型的参数估计采用最大似然法。

最大似然估计的基本思想是先建立似然函数（或对数似然函数），然后求使得似然函数达到最大的参数估计值。对于已有的样本，可建立样本似然函数L??PiYi(1?Pi)1?Yi，于是，样本的对数似然函数为

i?1nlnL??[YilnPi?(1?Yi)ln(1?Pi)]。根据最大似然原理，应求使（对数）似然函数达到最大值的参数值，

i?1n对lnL求一阶导数并令其为0，再用Newton-Raphson迭代方法求解方程组，即可得出参数的最大似然估计值及其标准误。

3.1.3.3 Logistic回归模型的假设检验

常用的检验方法有似然比检验（likelihood ratio test）和Wald检验。

（1）似然比检验。似然比检验的基本思想是比较在两种不同假设条件下，对数似然函数值的差别大小。检验的零假设为两种条件下的对数似然函数值无显著差别，检验的具体步骤如下。 Ⅰ.先拟合不包含待检验因素的Logistic模型，求对数似然函数值lnL0。 Ⅱ.再拟合包含待检验因素的Logistic模型，求新的对数似然函数值lnL1。

Ⅲ.最后，比较两个对数似然函数值的差异，若两个模型分别包含l个自变量和P个自变量，记似

(l)l)G统计然比统计量G的计算公式为G?2(lnL1?ln(0)。在零假设成立的条件下，当样本含量n较大时，

量服从自由度为v?p?l的?2分布，如果只是对一个回归系数（或一个自变量）进行检验，则v=1。

（2）Wald检验。用u检验或?2检验，推断各参数?j是否为0，其中u?bj/Sbj，?2?(bj/Sbj)，Sbj为回归系数的标准误。

3.2 模型求解

3.2.1 Malmquist指数分解模型

在本文的分析中，我们把中国2001－2009年30个省市数据，运用Malmquist生产力指数方法来估计中国全要素生产率的变动状况。

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Malmquist生产力指数及其分解的指数可以分析经济产出单位效率的动态变化。省市产出的全要素生

产率变化变化指数(TFPCH)可以分解为效率变动指数(EFFCH)及技术变动指数(TECHCH)，从中可以看出省市全要素生产率的变化是因为效率变动指数变化还是技术变动指数变化。效率变动指数(EHCH)进一步可以分解为纯技术效率变动(PECH)和规模效率变动(SECH)，通过这些指标可以考察各省市产出效率的变化原因。这些指标的共同特征如果当期的指标大于1，则说明当期比前期的更加有效率。

利用软件DEAP2.1采用投入主导的计算方法计算2001-2009年中国各省市的Malmquist生产力变动指数及其分解的指数，各指数均以2001年为基期且假定当期所有效率指数均为1，结果如表1：

表1 2001-2009年我国Malmquist生产力变动指数

year 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 EFFCH 1.000 1.001 1.067 1.024 1.003 0.989 1.009 1.010 1.031 TECHCH 1.000 1.042 0.925 0.965 0.960 1.009 0.990 1.013 0.982 PECH 1.000 0.996 1.033 1.016 1.013 1.000 1.014 1.022 1.020 SECH 1.000 1.005 1.033 1.008 0.990 0.989 0.994 0.989 1.012 TFPCH 1.000 1.044 0.987 0.988 0.963 0.997 0.998 1.023 1.013 几何平均 1.106 0.985 1.104 1.002 1.001 从表1可以看出，2001-2009年，中国经济发展中，无论技术效率变动指数(EFFCH)，还是纯技术效率变动(PECH)，规模效率变动(SECH)，全要素生产效率(TFPCH)的平均值大于1，可以看出虽然这几年中国经济发展效率略有波动，但整体上朝着一个良性的方向发展。2003-2007年全要素生产效率(TFPCH)略有波动，呈现了下降的趋势，说明经济发展放缓趋势。 技术进步指数(TECHCH)，几何平均值小于1，说明我国经济发展过程中，需要注重技术方面的改进， 改变旧的生产方式，深化现代的生产技术运用，才可以提高生产效率。2001-2009年规模效率变动指数(SECH)均值为1.002，规模效率略有增长，但涨幅不大。

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